2019-2020学年高中数学 第三章 概率章末复习讲座学案 北师大版必修3

-1-第三章概率知识网络构建规律方法总结1．概率是反映随机事件出现的可能性大小的一个数量，概率在[0,1]中取值．2．如果随机试验的基本事件个数有限(或试验结果个数有限)，并且是等可能的，则称这种随机试验为古典概型．设Ω有n个基本事件，随机事件A包含m个基本事件，则事件A的概率P(A)＝mn.对任何事件A,0≤P(A)≤1.对必然事件Ω，P(Ω)＝1，对不可能事件∅，P(∅)＝0.3．概率的统计定义适合更广泛的概率模型，通过多次重复试验，可以用频率得到概率的近似值；几何概型适合试验结果有无限多个，并且可以用长度、面积、体积等几何度量基本空间和事件的随机试验．4．不可能同时发生的两个事件，叫互斥事件．如果A与B互斥，则有A∩B＝∅，且P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(加法公式)5．对立事件P(A)＋P(A－)＝1.6．在学几何概型时，我们可以类比古典概型的思想去理解几何概型的概念．把几何概型中区域的几何度量(线段长度、时间长度、体积、面积等)类比为古典概型中的基本事件．-2-热点问题归纳一、事件间的运算例15张不同的奖券中有2张是中奖的，首先由甲，然后由乙各抽一张，求：(1)甲中奖的概率P1；(2)甲、乙都中奖的概率P2；(3)只有乙中奖的概率P3；(4)乙中奖的概率P4.[分析]首先通过列举数出基本事件总数为20种，然后分别数出4小问中所求概率的事件总数，最后化归为古典概型公式求解．[解]记不中奖券分别为A，B，C，中奖券分别为a，b，甲、乙两人按顺序各抽一张，所有抽法有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，A)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，A)，(C，B)，(c，a)，(c，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(a，b)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(b，a)共20种．(1)“甲中奖”时甲的抽法有2种，乙可能中奖，也可能不中奖，所以事件“甲中奖”含有的基本事件有(a，A)，(a，B)，(a，c)，(a，b)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(b，a)共8种，故P1＝820＝25.-3-(2)甲、乙都中奖含有的基本事件有(a，b)，(b，a)共2种，所以P2＝220＝110.(3)“只有乙中奖”含有的基本事件有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(c，a)，(c，b)共6种，故P3＝620＝310.(4)“乙中奖”时乙的抽法有2种，甲可能中奖，也可能不中奖，所以事件“乙中奖”含有的基本事件有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，(b，a)共8种，故P4＝820＝25.二、古典概型例2若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是________．[分析]本小题为古典概型，需把事件包含的基本事件总数搞清楚．[解析]基本事件共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，-4-共36个，其中点数之和为4的有(1,3)，(2,2)，(3,1)共3个，故P＝336＝112.[答案]112例3甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，乙胜．你认为此游戏是否公平，请说明你的理由．[分析](1)共有12种；(2)乙抽到的牌只能是2,4,4；(3)甲抽到的牌比乙抽到的牌大有5种，概率相等才公平．[解](1)甲、乙两人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示)为(2,3)、(2,4)、(2,4′)、(3,2)、(3,4)、(3,4′)、(4,2)、(4,3)、(4,4′)、(4′，2)、(4′，3)、(4′，4)共12种不同情况．(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4′.所以乙抽到的数字大于3的牌只能是4,4′.所以乙抽出的牌面数字比3大的概率为23.(3)由甲抽到的牌比乙抽到的牌大有：(3,2)、(4,2)、(4,3)、(4′，2)、(4′，3)共有5种．所以甲胜的概率P1＝512.则乙获胜的概率为P2＝1－512＝712.因为512≠712，所以此游戏不公平．类题通法列举法是计算古典概型基本事件总数的常见方法.三、几何概型-5-例4在长度为a的线段上任取两点将线段分成三段，求它们可以构成三角形的概率．[解]解法一：假设x、y表示三段线段中的任意两段线段的长度，所以应有x0，y0且x＋ya，三段线段要构成三角形，由构成三角形的条件知，x和y都小于a2，且x＋ya2(如下图阴影部分)．又因为阴影部分的三角形的面积占总面积的14，故能够构成三角形的概率为14.解法二：如上右图，作等边三角形ABC，使其高为a，过各边中点作△DEF.△DEF的面积占△ABC的面积的14.因为从△ABC内任意一点P到等边三角形三边的垂线段长度之和等于三角形的高(由等积法易知)，为了使这三条垂线段中每一条的长度都小于a2，P点必须落在阴影部分，即△DEF内DM＝a2.所以符合题意要求的情况占全部情况的14，即所求概率为14.类题通法解决此题的关键在于弄清三角形三边长之间的关系，由题意易知，三边长之和为定值a，且三边长分别小于a2，把握住了这两点，就能使问题准确获解，数形结合在本题中起着至关重-6-要的作用．