2021版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第3讲 二次函数与幂函数教案 文 新人教

1第3讲二次函数与幂函数一、知识梳理1．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a单调性在－∞，－b2a上单调递减；在－∞，－b2a上单调递增；2在－b2a，＋∞上单调递增在－b2a，＋∞上单调递减奇偶性当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数顶点－b2a，4ac－b24a对称性图象关于直线x＝－b2a成轴对称图形常用结论1．巧识幂函数的图象和性质2．记牢一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的充要条件是a0，b2－4ac0.(2)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的充要条件是a0，b2－4ac0.二、习题改编1．(必修1P79习题T1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α＝()A.12B．1C.32D．2解析：选C.因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.又f(x)的图象过点12，22，所以12α＝22，所以α＝12，所以k＋α＝1＋12＝32.故选C.2．(必修1P39B组T1改编)函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，则y的最小值为．解析：函数y＝2x2－6x＋3＝2x－322－32的图象的对称轴为直线x＝321，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上单调递减，所以ymin＝2－6＋3＝－1.答案：－13一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x13是幂函数．()(2)当n0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．()(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．()(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)×二、易错纠偏常见误区(1)幂函数定义不清晰，导致出错；(2)二次函数的性质理解不到位出错；(3)忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错．1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点2，22，则此函数的解析式为；在区间上递减．解析：设y＝f(x)＝xα，因为图象过点2，22，代入解析式得α＝－12，则y＝x－12，由性质可知函数y＝x－12在(0，＋∞)上递减．答案：y＝x－12(0，＋∞)2．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为．解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是．解析：因为函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，所以a0，Δ＝12－20a0，解得a120.答案：120，＋∞4幂函数的图象及性质(典例迁移)(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是()(2)已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，则m的所有可能取值为．【解析】(1)设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12，所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0x1时，其图象在直线y＝x的上方．故选C.(2)因为幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，所以m2－2m－3≤0且m2－2m－3(m∈N*)为偶数．由m2－2m－3≤0得－1≤m≤3，又m∈N*，所以m＝1，2，3，当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4为偶数，符合题意；当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3为奇数，不符合题意；当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0为偶数，符合题意．综上所述，m＝1，3.【答案】(1)C(2)1，3【迁移探究1】(变条件)若本例(2)中，将函数“f(x)＝xm2－2m－3”变为“f(x)＝(m2＋2m－2)xm2－3m”，其他条件不变，则m的值为．解析：由于f(x)为幂函数，所以m2＋2m－2＝1，解得m＝1或m＝－3，经检验只有m＝1适合题意，所以m＝1.答案：1【迁移探究2】(变条件)本例(2)中f(x)不变，m∈N*.若函数的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m的值为．解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以m2－2m－30，解得－1m3.又m∈N*，所以m＝1或m＝2.由于f(x)的图象关于y轴对称．所以m2－2m－3为偶数，又当m＝2时，m2－2m－3为奇数，所以m＝2舍去，5因此m＝1.答案：1幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．1．已知点33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是()A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数解析：选A.设f(x)＝xα，由已知得33α＝3，解得α＝－1，因此f(x)＝x－1，易知该函数为奇函数．2．已知a＝345，b＝425，c＝1215，则a，b，c的大小关系为()A．bacB．abcC．cbaD．cab解析：选C.因为a＝8115，b＝1615，c＝1215，由幂函数y＝x15在(0，＋∞)上为增函数，知abc，故选C.3．若(a＋1)12(3－2a)12，则实数a的取值范围是．解析：易知函数y＝x12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以a＋1≥0，3－2a≥0，a＋13－2a，解得－1≤a23.答案：－1，23求二次函数的解析式(师生共研)6(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x＝2＋（－1）2＝12.所以m＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝ax－122＋8.因为f(2)＝－1，所以a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.法三(利用零点式)：由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a（－2a－1）－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：71．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(－1，11)，且其对称轴是直线x＝1，则a＋b的值是()A．－2B．0C．1D．2解析：选A.因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象的对称轴是直线x＝1，所以－b2a＝1①.又f(－1)＝a－b＋5＝11，所以a－b＝6②.联立①②，解得a＝2，b＝－4，所以a＋b＝－2，故选A.2．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f(x)的解析式为f(x)＝．解析：由二次函数f(x)有两个零点0和－2，可设f(x)＝a(x＋2)x，则f(x)＝a(x2＋2x)＝a(x＋1)2－a.又f(x)有最小值－1，则a＝1.所以f(x)＝x2＋2x.答案：x2＋2x二次函数的图象与性质(多维探究)角度一二次函数图象的识别问题如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b24ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5ab.其中正确的结论是()A．②④B．①④C．②③D．①③【解析】因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac0，即b24ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y0，即a－b＋c0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，④正确．故选B.【答案】B确定二次函数图象应关注的三个要点8一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向．二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置．三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．角度二二次函数的单调性及最值问题(1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是．(2)求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1，2]上的最大值．【解】(1)当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝3－a2a，由f(x)在[－1，＋∞)上递减知a03－a2a≤－1，解得－3≤a0.综上，a的取值范围为[－3，0]．故填[－3，0]．(2)f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，所以f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a.①当－a12即a－12时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5.②当－a≥12即a≤－12时，f(x)max＝f(－1)＝2－2a，综上，f(x)max＝4a＋5，a－12，2－2a，a≤－12.二次函数的单调性及最值问题(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．角度三一元二次不等式恒成立问题(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是．9(2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值