2021版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示教案 文 新人教A版

1第2讲平面向量基本定理及坐标表示一、知识梳理1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．[提醒]当且仅当x2y2≠0时，a∥b与x1x2＝y1y2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．常用结论1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2.22．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点的坐标为x1＋x22，y1＋y22.3．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．二、习题改编1．(必修4P99例8改编)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为()A．(2，2)B．(3，－1)C．(2，2)或(3，－1)D．(2，2)或(3，1)解析：选D.由题意得P1P→＝13P1P2→或P1P→＝23P1P2→，P1P2→＝(3，－3)．设P(x，y)，则P1P→＝(x－1，y－3)，当P1P→＝13P1P2→时，(x－1，y－3)＝13(3，－3)，所以x＝2，y＝2，即P(2，2)；当P1P→＝23P1P2→时，(x－1，y－3)＝23(3，－3)，所以x＝3，y＝1，即P(3，1)．故选D.2．(必修4P119A组T8改编)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn＝()A．－12B.12C．－2D．2解析：选A.由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得－(2m－n)＝4(3m＋2n)，所以mn＝－12.故选A.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)在△ABC中，向量AB→，BC→的夹角为∠ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x1x2＝y1y2.()(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√3二、易错纠偏常见误区(1)利用平面向量基本定理的前提是基底不能共线；(2)由点的坐标求向量坐标忽视起点与终点致误．1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则给出下列向量组：①AD→与AB→；②DA→与BC→；③CA→与DC→；④OD→与OB→.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④解析：选B.平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图：对于①，AD→与AB→不共线，可作为基底；对于②，DA→与BC→为共线向量，不可作为基底；对于③，CA→与DC→是两个不共线的向量，可作为基底；对于④，OD→与OB→在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．2．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝()A．(－7，－4)B．(7，4)C．(－1，4)D．(1，4)解析：选A.法一：设C(x，y)，则AC→＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以x＝－4，y＝－2，从而BC→＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.法二：AB→＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.4平面向量基本定理及其应用(师生共研)(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD→＝2DC→，CE→＝3EA→，若AB→＝a，AC→＝b，则DE→＝()A.13a＋512bB.13a－1312bC．－13a－512bD．－13a＋1312b(2)(2020·郑州市第一次质量预测)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若CG→＝λCD→＋μCB→(λ，μ∈R)，则λμ＝．【解析】(1)DE→＝DC→＋CE→＝13BC→＋34CA→＝13(AC→－AB→)－34AC→＝－13AB→－512AC→＝－13a－512b.(2)由题图可设CG→＝xCE→(x＞0)，则CG→＝x(CB→＋BE→)＝xCB→＋12CD→＝x2CD→＋xCB→.因为CG→＝λCD→＋μCB→，CD→与CB→不共线，所以λ＝x2，μ＝x，所以λμ＝12.【答案】(1)C(2)12运算遵法则基底定分解(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间5的关系．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．1．在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝13AB，BQ＝13BC，若AB→＝a，AC→＝b，则PQ→＝()A.13a＋13bB．－13a＋13bC.13a－13bD．－13a－13b解析：选A.由题意知PQ→＝PB→＋BQ→＝23AB→＋13BC→＝23AB→＋13(AC→－AB→)＝13AB→＋13AC→＝13a＋13b，故选A.2．已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且OA→与OB→不共线．(1)在△OAB中，点P在AB上，且AP→＝2PB→，若AP→＝rOB→＋sOA→，求r＋s的值；(2)已知点P满足OP→＝mOA→＋OB→(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．解：(1)因为AP→＝2PB→，所以AP→＝23AB→，所以AP→＝23(OB→－OA→)＝23OB→－23OA→，又因为AP→＝rOB→＋sOA→，所以r＝23，s＝－23，所以r＋s＝0.(2)因为四边形OABP为平行四边形，所以OB→＝OP→＋OA→，又因为OP→＝mOA→＋OB→，所以OB→＝OB→＋(m＋1)OA→，6依题意OA→，OB→是非零向量且不共线，所以m＋1＝0，解得m＝－1.平面向量的坐标运算(师生共研)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；(3)求M，N的坐标及向量MN→的坐标．【解】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.(3)设O为坐标原点，因为CM→＝OM→－OC→＝3c，所以OM→＝3c＋OC→＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．所以M(0，20)．又因为CN→＝ON→－OC→＝－2b，所以ON→＝－2b＋OC→＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N(9，2)．所以MN→＝(9，－18)．向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．7(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．1．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|BC→|＝2|AC→|，则向量OB→的坐标是．解析：由点C是线段AB上一点，|BC→|＝2|AC→|，得BC→＝－2AC→.设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即2－x＝－2，3－y＝－4，解得x＝4，y＝7.所以向量OB→的坐标是(4，7)．答案：(4，7)2．如图所示，以e1，e2为基底，则a＝．解析：以e1的起点为原点建立平面直角坐标系，则e1＝(1，0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3，1)，令a＝xe1＋ye2，即(－3，1)＝x(1，0)＋y(－1，1)，则x－y＝－3，y＝1，所以x＝－2，y＝1，即a＝－2e1＋e2.答案：－2e1＋e2平面向量共线的坐标表示(多维探究)角度一利用向量共线求向量或点的坐标已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为．【解析】因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以DC→＝2AB→.设点D的坐标为(x，y)，则DC→＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，AB→＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，82－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以4－x＝2，2－y＝－2，解得x＝2，y＝4，故点D的坐标为(2，4)．【答案】(2，4)角度二利用两向量共线求参数已知向量OA→＝(k，12)，OB→＝(4，5)，OC→＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A．－23B.43C.12D．13【解析】AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(－2k，－2)．因为A，B，C三点共线，所以AB→，AC→共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23.【答案】A(1)向量共线的两种表示形式设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝．解析：因为a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，所以a＋b＝(1，m－1)．因为(a＋b)∥c，c＝(－1，2)，所以2－(－1)·(m－1)＝0.9所以m＝－1.答案：－12．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－12.(2)法一：因为A，B，C三点共线，所以AB→＝λBC→，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，所以2＝λ3＝mλ，解得m＝32.法二：AB→＝2a＋3b＝2(1，0)＋3