（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 8 第8讲 函数与方程教学

1第8讲函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数两个一个零个[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点．()(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√[教材衍化]21．(必修1P92A组T5改编)函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致范围是()A．(1，2)B．(2，3)C.1e，1和(3，4)D．(4，＋∞)解析：选B.易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－23＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选B.2．(必修1P88例1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是______．解析：由已知得f′(x)＝ex＋30，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝1e－30，f(0)＝10，因此函数f(x)有且只有一个零点．答案：1[易错纠偏](1)错用零点存在性定理；(2)误解函数零点的定义；(3)忽略限制条件；(4)错用二次函数在R上无零点的条件．1．函数f(x)＝x＋1x的零点个数是______．解析：函数的定义域为{x|x≠0}，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0，所以函数没有零点．答案：02．函数f(x)＝x2－3x的零点是______．解析：由f(x)＝0，得x2－3x＝0，即x＝0和x＝3.答案：0和33．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是______．解析：二次函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)0即可，即－1＋m≤0且8＋m0，解得－8m≤1.答案：(－8，1]4．若二次函数f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是______．解析：由题意得Δ＝k2－4k0，解得0k4.答案：(0，4)3函数零点所在区间的判断设f(x)＝0.8x－1，g(x)＝lnx，则函数h(x)＝f(x)－g(x)存在的零点一定位于下列哪个区间()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，e)D．(e，3)【解析】h(x)＝f(x)－g(x)的零点等价于方程f(x)－g(x)＝0的根，即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点的横坐标，其大致图象如图，从图象可知它们仅有一个交点A，横坐标的范围为(0，1)，故选A.【答案】A判断函数零点所在区间的3种方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)图象法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．1．(2020·金华十校联考)函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为()A.14，12B.18，14C.0，18D.12，1解析：选A.因为f14＝π4＋log2140，f12＝π2＋log2120，所以f14·f120，故函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为14，12.2．(2020·杭州市严州中学高三模拟)若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内4B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解析：选A.因为f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，所以f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，因为abc，所以f(a)0，f(b)0，f(c)0，所以f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．函数零点个数的问题(1)函数f(x)＝x2＋x－2，x≤0，－1＋lnx，x0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0(2)已知函数f(x)满足f(x)＝f(3x)，且当x∈[1，3)时，f(x)＝lnx，若在区间[1，9)内，函数g(x)＝f(x)－ax有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A.ln33，1eB.ln39，13eC.ln39，12eD.ln39，ln33【解析】(1)法一：由f(x)＝0得x≤0，x2＋x－2＝0或x0，－1＋lnx＝0，解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．(2)因为f(x)＝f(3x)⇒f(x)＝fx3，当x∈[3，9)时，f(x)＝fx3＝lnx3，所以f(x)＝5lnx，1≤x3，lnx3，3≤x9，而g(x)＝f(x)－ax有三个不同零点⇔y＝f(x)与y＝ax的图象有三个不同交点，如图所示，可得直线y＝ax应在图中两条虚线之间，所以可解得ln39a13e.故选B.【答案】(1)B(2)B判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选C.由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x0)，y2＝lnx(x0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.2．已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x0时，f(x)＝2|x－1|－1，0x≤2，12f（x－2），x2，则函数g(x)＝4f(x)－1的零点个数为()A．4B．6C．8D．10解析：选D.由f(x)为偶函数可得，只需作出x∈(0，＋∞)上6的图象，再利用对称性作另一半图象即可．当x∈(0，2]时，可以通过y＝2x的图象进行变换作出f(x)的图象，当x2时，f(x)＝12f(x－2)，即自变量差2个单位，函数值折半，进而可作出f(x)在(2，4]，(4，6]，…的图象，如图所示．g(x)的零点个数即f(x)＝14的根的个数，也即f(x)的图象与y＝14的图象的交点个数，观察图象可知，当x0时，有5个交点，根据对称性可得当x0时，也有5个交点，共计10个交点，故选D.函数零点的应用(高频考点)高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)利用函数零点比较大小；(2)已知函数的零点(或方程的根)的情况求参数的值或范围；(3)利用函数零点的性质求参数的范围．角度一利用函数零点比较大小(2020·台州模拟)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝lnx＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是()A．f(a)f(1)f(b)B．f(a)f(b)f(1)C．f(1)f(a)f(b)D．f(b)f(1)f(a)【解析】由题意，知f′(x)＝ex＋10恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增的，而f(0)＝e0＋0－2＝－10，f(1)＝e1＋1－2＝e－10，所以函数f(x)的零点a∈(0，1)；由题意，知g′(x)＝1x＋10，所以函数g(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，又g(1)＝ln1＋1－2＝－10，g(2)＝ln2＋2－2＝ln20，所以函数g(x)的零点b∈(1，2)．综上，可得0a1b2.因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)f(1)f(b)．故选A.【答案】A角度二已知函数的零点(或方程的根)的情况求参数的值或范围(1)设函数f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于x的函数F(x)＝g(x)－f(x)－m在[1，2]上有零点，则m的取值范围为________．(2)(2018·高考浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝x－4，x≥λ，x2－4x＋3，xλ，当λ＝2时，不等式f(x)0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．【解析】(1)令F(x)＝0，即g(x)－f(x)－m＝0.所以m＝g(x)－f(x)＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)7＝log22x－12x＋1＝log21－22x＋1.因为1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5.所以25≤22x＋1≤23，13≤1－22x＋1≤35.所以log213≤log21－22x＋1≤log235，即log213≤m≤log235.所以m的取值范围是log213，log235.(2)若λ＝2，则当x≥2时，令x－40，得2≤x4；当x2时，令x2－4x＋30，得1x2.综上可知，1x4，所以不等式f(x)0的解集为(1，4)．令x－4＝0，解得x＝4；令x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.因为函数f(x)恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知1λ≤3或λ4.【答案】(1)log213，log235(2)(1，4)(1，3]∪(4，＋∞)角度三利用函数零点的性质求参数的范围已知函数f(x)＝|lnx|，若0ab，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是()A．(22，＋∞)B．[22，＋∞)C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)【解析】先作出f(x)的图象如图所示，通过图象可知，如果f(a)＝f(b)，则0a1b，设f(a)＝f(b)＝t，即|lna|＝t，|lnb|＝t(t0)，由0a1b可得lna0，lnb0，从而lna＝－t，lnb＝t，即a＝e－t，b＝et，所以a＋2b＝1et＋2et，而et1，又y＝2x＋1x在(1，＋∞)上为增函数，所以2et＋1et∈(3，＋∞)．故选C.【答案】C已知函数的零点(或方程根)的情况求参数问题常用的三种方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题