2021版高考数学一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第4讲 直接证明与间接证明教案 文 新

1第4讲直接证明与间接证明一、知识梳理1．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法．(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．分析法又称为：执果索因法(逆推证法)．2．间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．常用结论1．分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件．2．用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论反面的情况，然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾．二、习题改编1．(选修1­2P42练习T1改编)对于任意角θ，化简cos4θ－sin4θ＝()A．2sinθB．2cosθC．sin2θD．cos2θ2解析：选D.因为cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ，故选D.2．(选修1­2P42练习T2改编)设m＝1＋3，n＝22，则m与n的大小关系是()A．m＞nB．m≥nC．m＜nD．m≤n解析：选C.法一：m2－n2＝(1＋3)2－(22)2＝4＋23－8＝23－4＝12－16＜0，又m＞0，n＞0.所以m＜n，故选C.法二：假设m≥n，即1＋3≥22.则有(1＋3)2≥(22)2，即4＋23≥8，即23≥4，即3≥2，即3≥4，显然错误，所以m＜n，故选C.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．()(5)常常用分析法寻找解题的思路与方法，用综合法展现解决问题的过程．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√二、易错纠偏常见误区(1)“至少”否定出错；(2)应用分析法寻找的条件不充分．1．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设．答案：三角形三个内角都大于60°2．若用分析法证明“设abc且a＋b＋c＝0，求证b2－ac3a”，则索的因是(填序号)．3①a－b0；②a－c0；③(a－b)(a－c)0；④(a－b)(a－c)0.解析：由abc且a＋b＋c＝0，可得b＝－a－c，a0，c0，要证b2－ac3a，只需证(－a－c)2－ac3a2，即证a2－ac＋a2－c20，即证，a(a－c)＋(a＋c)(a－c)0，即证(a－c)(a－b)0.答案：③综合法(师生共研)(2019·高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC.求证：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.【证明】(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC­A1B1C1是直棱柱，所以C1C⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以C1C⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.4综合法证题的思路与方法(一题多解)在△ABC中，设a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，求证：△ABC是直角三角形．证明：法一：由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0，即12sin2B－12sin2A＝0，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2.若A＝B，则a＝b，cosA＝cosB，两直线重合，不符合题意，故A＋B＝π2，即△ABC是直角三角形．法二：由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由余弦定理，得a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2.若a＝b，则两直线重合，不符合题意，故a2＋b2＝c2，即△ABC是直角三角形．分析法(师生共研)△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.【证明】要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，5即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，也就是证ca＋b＋ab＋c＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2.又△ABC三个内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．分析法的证题思路先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．[提醒]要注意书写格式的规范性．已知m0，a，b∈R，求证：a＋mb1＋m2≤a2＋mb21＋m.证明：因为m0，所以1＋m0.所以要证原不等式成立，只需证(a＋mb)2≤(1＋m)·(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．反证法(师生共研)设a0，b0，且a＋b＝1a＋1b.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．【证明】由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，a0，b0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a2与b2＋b2同时成立，则由a2＋a2及a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．6反证法证明数学命题的步骤应用反证法时，当原命题结论反面有多种情况时，要对结论的反面的每一种情况都进行讨论，从而达到否定结论的目的．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝1，c＋d＝1，ac＋bd1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明：假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，即ac＋bd＋ad＋bc＝1，又ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，与题设矛盾，故假设不成立，故a，b，c，d中至少有一个是负数．[基础题组练]1．(2020·衡阳示范高中联考(二))用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”的正确假设为()A．自然数a，b，c中至少有两个偶数B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．自然数a，b，c都是奇数D．自然数a，b，c都是偶数解析：选B.“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数，其否定是“自然数a，b，c均为奇数或自然数a，b，c中至少有两个偶数”．2．分析法又称执果索因法，已知x0，用分析法证明1＋x1＋x2时，索的因是()A．x22B．x24C．x20D．x21解析：选C.因为x0，所以要证1＋x1＋x2，只需证(1＋x)21＋x22，即证0x24，即证x20，显然x20成立，故原不等式成立．3．在△ABC中，sinAsinC＜cosAcosC，则△ABC一定是()7A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选C.由sinAsinC＜cosAcosC得cosAcosC－sinAsinC＞0，即cos(A＋C)＞0，所以A＋C是锐角，从而B＞π2，故△ABC必是钝角三角形．4．已知函数f(x)＝12x，a，b是正实数，A＝fa＋b2，B＝f(ab)，C＝f2aba＋b，则A，B，C的大小关系为()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A解析：选A.因为a＋b2≥ab≥2aba＋b，又f(x)＝12x在R上是减函数，所以fa＋b2≤f(ab)≤f2aba＋b，即A≤B≤C.5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x20，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x20，可知x1－x2，f(x1)f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)0.6．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为．解析：“x≠a且x≠b”的否定是“x＝a或x＝b”，因此应假设为x＝a或x＝b.答案：x＝a或x＝b7．设a＝3＋22，b＝2＋7，则a，b的大小关系为．解析：a＝3＋22，b＝2＋7，两式的两边分别平方，可得a2＝11＋46，b2＝11＋47，显然67，所以ab.答案：ab88．(2020·福州模拟)如果aa＋bb＞ab＋ba，则a，b应满足的条件是．解析：aa＋bb＞ab＋ba，即(a－b)2(a＋b)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C＝2π3，求证：5a＝3b.证明：(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．(2)由C＝2π3，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，即5a＝3b.10．已知四棱锥S­ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝2，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，所以SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以SA⊥平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.因为BC∥AD，BC⊄平面SAD.所以BC∥平面SAD，而BC∩BF＝B，所以平面FBC∥平面SAD.9这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，所以假设不成立．所以不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.[综合题组练]1．已知a，b，c∈R，若ba·ca1且ba＋ca≥－2，则下列结论成立的是()A．a，b，c同号B．b，c同号，a与它们异号C．a，c同号，b与它们异号D．b，c同号，a与b，c的符号关系不确定解析：选A.由ba·ca1知ba与ca同号，若ba0且ca0，不等式ba＋ca≥－2显然成立，若ba0且ca0，则－ba0，－ca0，－ba＋－ca≥2－ba·－ca