2021版高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和教案 文 新人教A版

1第3讲等比数列及其前n项和一、知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(非零)．②符号语言：an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G2＝ab．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1．(2)前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1.3．等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a2r；(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．常用结论1．等比数列的单调性当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．2．等比数列与指数函数的关系2当q≠1时，an＝a1q·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．3．等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不为零)二、习题改编1．(必修5P53练习T3改编)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列解析：选D.设等比数列的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，满足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，即a26＝a3·a9.2．(必修5P53习题T1改编)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝54，a2＋a4＝52，则q＝．答案：23．(必修5P54A组T8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为．解析：设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81.答案：27，81一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．()(5)等比数列中不存在数值为0的项．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√3二、易错纠偏常见误区(1)运用等比数列的前n项和公式时，忽略q＝1的情况；(2)“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件；(3)对等比数列项的符号不能作出正确判断．1．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是()A．1B．－12C．1或－12D．－1或12解析：选C.当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，a1q2＝7，a1（1－q3）1－q＝21，得q＝－12.综上，q的值是1或－12，故选C.2．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝．解析：因数列{an}为等比数列，则a25＝a3a7＝16，又a3＞0，所以a5＝4.答案：43．在等比数列{an}中，a2＝4，a10＝16，则a2和a10的等比中项为．解析：设a2与a10的等比中项为G，因为a2＝4，a10＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.答案：±8等比数列的基本运算(师生共研)(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，S3＝34，则S4＝．(2)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.则an＝．【解析】(1)通解：设等比数列{an}的公比为q，由a1＝1及S3＝34，易知q≠1.把a1＝1代入S3＝a1（1－q3）1－q＝34，得1＋q＋q2＝34，解得q＝－12，所以S4＝a1（1－q4）1－q＝1×1－－1241－－12是等比数列．4