2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 圆锥曲线的综合问题 第1课时 圆锥曲线中的

1第8讲圆锥曲线的综合问题一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.方程ax2＋bx＋c＝0的解l与C1的交点a＝0b＝0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点b≠0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点a≠0Δ＞0两个不相等的解两个交点Δ＝0两个相等的解一个交点Δ＜0无实数解无交点(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.常用结论圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表：圆锥曲线方程直线斜率2椭圆：x2a2＋y2b2＝1(ab0)k＝－b2x0a2y0双曲线：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)k＝b2x0a2y0抛物线：y2＝2px(p0)k＝py0二、习题改编(选修1­1P62例5改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选C.结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．()(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．()(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．()(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．()(5)过点(2，4)的直线与椭圆x24＋y2＝1只有一条切线．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×二、易错纠偏常见误区(1)没有发现直线过定点，导致运算量偏大；(2)不会用函数法解最值问题．1．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：选A.直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为()3A.2B.728C．22D．526解析：选B.设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d＝|x－y－2|2＝|－x2＋x－2|2＝－x－122－742π.