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1第2讲参数方程一、知识梳理1.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地,可以通过消去参数,从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么x=f(t),y=g(t)就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.2.直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线y-y0=k(x-x0)x=x0+tcosαy=y0+tsinα(t为参数)圆(x-x0)2+(y-y0)2=r2x=x0+rcosθy=y0+rsinθ(θ为参数且0≤θ2π)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)x=acosty=bsint(t为参数且0≤t2π)抛物线y2=2px(p0)x=2pt2y=2pt(t为参数)2常用结论经过点P(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为x=x0+tcosα,y=y0+tsinα(t为参数).若A,B为直线l上的两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常用到:(1)t0=t1+t22;(2)|PM|=|t0|=t1+t22;(3)|AB|=|t2-t1|;(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|.二、习题改编1.(选修44P22例1改编)已知曲线C的参数方程为x=3t,y=2t2+1(t为参数),点M(-6,a)在曲线C上,则a=.解析:由题意得-6=3t,a=2t2+1,所以t=-2,a=9.答案:92.(选修44P36例1改编)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=2+22t,y=22t(t为参数),与圆C:(x-3)2+(y-3)2=4交于A,B两点,求|AB|.解:将直线l的参数方式代入圆C的直角坐标方程,得22t-12+22t-32=4,即t2-42t+6=0,设两交点A,B所对应的参数分别为t1,t2,从而t1+t2=42,t1t2=6,则|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=22.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)3(1)参数方程x=f(t),y=g(t)中的x,y都是参数t的函数.()(2)过M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为x=x0+tcosα,y=y0+tsinα(t为参数).参数t的几何意义表示:直线l上以定点M0为起点,任一点M(x,y)为终点的有向线段M0M→的数量.()(3)已知椭圆的参数方程x=2cost,y=4sint(t为参数),点M在椭圆上,对应参数t=π3,点O为原点,则直线OM的斜率为3.()答案:(1)√(2)√(3)×二、易错纠偏常见误区(1)不注意互化的等价性致误;(2)直线参数方程中参数t的几何意义不清致误.1.在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为x=2+sin2θ,y=-1+cos2θ(θ为参数),求曲线C的普通方程.解:由x=2+sin2θ,0≤sin2θ≤1⇒2≤2+sin2θ≤3⇒2≤x≤3,x=2+sin2θ,y=-1+cos2θ⇒x-2=sin2θ,y=-1+1-2sin2θ⇒x-2=sin2θy=-2sin2θ⇒2x+y-4=0(2≤x≤3).2.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=2+t,y=1+3t(t为参数),曲线C的普通方程为(x-4)2+(y-3)2=4,设点M(2,1),直线l与曲线C相交于A,B两点,求|MA|·|MB|的值.解:设点A,B对应的参数分别为t1,t2,将x=2+t,y=1+3t(t为参数)代入(x-4)2+(y-3)2=4,得t2-(3+1)t+1=0,所以t1t2=1,4直线l:x=2+ty=1+3t(t为参数),可化为x=2+12(2t)y=1+32(2t),所以|MA|·|MB|=|2t1||2t2|=4|t1t2|=4.参数方程与普通方程的互化(师生共研)已知曲线C1:x=-4+cost,y=3+sint(t为参数),曲线C2:x=8cosθ,y=3sinθ(θ为参数).化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线.【解】曲线C1:(x+4)2+(y-3)2=1,曲线C2:x264+y29=1,曲线C1是以(-4,3)为圆心,1为半径的圆;曲线C2是中心为坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等.对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参,如sin2θ+cos2θ=1等.(2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解.1.求直线x=2+t,y=-1-t(t为参数)与曲线x=3cosα,y=3sinα(α为参数)的交点个数.解:将x=2+t,y=-1-t消去参数t得直线x+y-1=0;5将x=3cosα,y=3sinα消去参数α得圆x2+y2=9.又圆心(0,0)到直线x+y-1=0的距离d=223.因此直线与圆相交,故直线与曲线有2个交点.2.如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,求圆x2+y2-x=0的参数方程.解:圆的半径为12,记圆心为C12,0,连接CP,则∠PCx=2θ,故xP=12+12cos2θ=cos2θ,yP=12sin2θ=sinθcosθ(θ为参数).所以圆的参数方程为x=cos2θ,y=sinθcosθ(θ为参数).参数方程的应用(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=1-t21+t2,y=4t1+t2(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθ+3ρsinθ+11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.【解】(1)因为-11-t21+t2≤1,且x2+y22=1-t21+t22+4t2(1+t2)2=1,所以C的直角坐标方程为x2+y24=1(x≠-1).l的直角坐标方程为2x+3y+11=0.(2)由(1)可设C的参数方程为x=cosα,y=2sinα(α为参数,-παπ).C上的点到l的6距离为|2cosα+23sinα+11|7=4cosα-π3+117.当α=-2π3时,4cos(α-π3)+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为7.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上和动点有关的问题,如最值、范围等.(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义,有如下常用结论:过定点M0的直线与圆锥曲线相交,交点为M1,M2,所对应的参数分别为t1,t2,①弦长l=|t1-t2|;②M0为弦M1M2的中点⇒t1+t2=0;③|M0M1|·|M0M2|=|t1t2|.1.已知曲线C的普通方程为x212+y24=1,求曲线C的内接矩形周长的最大值.解:由曲线C的直角坐标方程为x212+y24=1,可设曲线C上的动点A(23cosα,2sinα),0απ2,则以A为顶点的内接矩形的周长为4(23cosα+2sinα)=16sin(α+π3),0απ2.因此该内接矩形周长的最大值为16,当且仅当α=π6时取得最大值.2.(2020·成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=12t,y=32t-1(t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C的极坐标方程是ρ=22sinπ4+θ.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)设点P(0,-1),若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.解:(1)将直线l的参数方程消去参数t并化简,得直线l的普通方程为3x-y-1=0.曲线C的极坐标方程可化为ρ2=22ρ22sinθ+22cosθ,即ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,所以x2+y2=2y+2x,故曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.7(2)将直线l的参数方程代入(x-1)2+(y-1)2=2中,得12t-12+32t-22=2,化简,得t2-(1+23)t+3=0.可得Δ0,所以此方程的两根为直线l与曲线C的交点A,B对应的参数t1,t2.由根与系数的关系,得t1+t2=23+1,t1t2=3,故t1,t2同正.由直线的参数方程中参数的几何意义,知|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=23+1.极坐标与参数方程的综合问题(师生共研)(一题多解)(2020·贵州省适应性考试)曲线C1的参数方程为x=2+2cosα,y=2sinα(α为参数),在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ.(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)过原点且倾斜角为α(π6α≤π4)的射线l与曲线C1,C2分别相交于A,B两点(A,B异于原点),求|OA|·|OB|的取值范围.【解】(1)曲线C1的普通方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,故曲线C1的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ,即ρ=4cosθ.由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ,两边同乘以ρ,得ρ2cos2θ=ρsinθ,故曲线C2的直角坐标方程为x2=y.(2)法一:射线l的极坐标方程为θ=α,π6α≤π4,把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得|OA|=ρ=4cosα,把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得|OB|=ρ=sinαcos2α,所以|OA|·|OB|=4cosα·sinαcos2α=4tanα,因为π6α≤π4,所以|OA|·|OB|的取值范围是433,4.8法二:射线l的参数方程为x=tcosα,y=tsinα(t为参数,π6α≤π4).把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得t2-4tcosα=0.解得t1=0,t2=4cosα.故|OA|=|t2|=4cosα.同理可得|OB|=sinαcos2α,所以|OA|·|OB|=4cosα·sinαcos2α=4tanα,因为π6α≤π4,所以|OA|·|OB|的取值范围是433,4.处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标的综合问题时,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.(2)数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用ρ和θ的几何意义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的.(一题多解)(2020·济南市模拟考试)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=3cosα,y=1+3sinα(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsinθ+π6=23.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)射线OP的极坐标方程为θ=π6(ρ≥0),若射线OP与曲线C的交点为A,与直线l的交点为B,求线段AB的长.解:(1)由x=3cosα,y=1+3sinα,可得
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