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-1-3.2.2函数模型的应用实例【基础练习】1.向一杯子中匀速注水时,杯中水面高度h随时间t变化的函数h=f(t)的图象如图所示,则杯子的形状是()【答案】A【解析】从题图看出,在时间段[0,t1],[t1,t2]内水面高度是匀速上升的,在[0,t1]上升慢,在[t1,t2]上升快.故选A.2.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y=5x+4000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套量至少为()A.200副B.400副C.600副D.800副【答案】D【解析】由10x-y=10x-(5x+4000)≥0,得x≥800.3.(2019年北京期末)设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.18【答案】B【解析】由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则由0<x<100,x∈N*,100-x1+1.2x%t≥100t,解得0<x≤503.因为x∈N*,所以x的最大值为16.4.抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽(已知lg2≈0.3010)()-2-A.6次B.7次C.8次D.9次【答案】C【解析】由题意,得(1-0.6)n0.1%,即0.4n0.1%,即nlg0.1%lg0.4≈7.5,故至少需8次.5.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度vm/s和燃料的质量Mkg、火箭(除燃料外)的质量mkg的函数关系式是v=2000·ln1+Mm.当燃料质量是火箭质量的__________倍时,火箭的最大速度可达12km/s.【答案】e6-1【解析】当v=12000时,2000·ln1+Mm=12000,∴ln1+Mm=6,∴Mm=e6-1.6.(2019年河南安阳模拟)某类产品按工艺共分10个档次,最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次,每件利润增加2元.用同样工时,可以生产最低档产品60件,每提高一个档次将少生产3件产品,则获得利润最大时生产产品的档次是________.【答案】9【解析】由题意,第k档次时,每天可获利润为y=[8+2(k-1)][60-3(k-1)]=-6k2+108k+378(1≤k≤10),配方可得y=-6(k-9)2+864,∴当k=9时,获得利润最大.7.某公司试销一种成本单价为500元的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y=kx+b(k≠0),函数图象如图所示.(1)根据图象,求一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式;(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元.试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大毛利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少?【解析】(1)由图象知,当x=600时,y=400;当x=700时,y=300,代入y=kx+b(k≠0)中,得400=600k+b,300=700k+b,解得k=-1,b=1000.所以y=-x+1000(500≤x≤800).(2)销售总价=销售单价×销售量=xy,-3-成本总价=成本单价×销售量=500y,代入求毛利润的公式,得S=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000)=-x2+1500x-500000=-(x-750)2+62500(500≤x≤800).所以,当销售单价定为750元时,可获得最大毛利润62500元,此时销售量为250件.8.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t(单位:min)后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)·12th,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡,放在24℃的房间中,如果咖啡降温到40℃需要20min,那么降温到35℃时,需要多长时间?【解析】由题意知40-24=(88-24)·1220h,即14=1220h.解得h=10.故T-24=(88-24)·12t10.当T=35时,代入上式,得35-24=(88-24)·12t10,即12t10=1164,t10=log121164,用计算器求得t≈25.因此,约需要25min,可降温到35℃.【能力提升】9.(2019年河北石家庄模拟)在翼装飞行世界锦标赛中,某翼人空中高速飞行,如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v(x)与时间x的关系,若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0,x]内的最大速度与最小速度的差,则u(x)的图象是()-4-ABCD【答案】D【解析】当x∈[0,6]时,翼人做匀加速运动,v(x)=80+403x,“速度差函数”u(x)=403x.当x∈[6,10]时,翼人做匀减速运动,速度v(x)从160开始下降,一直降到80,u(x)=160-80=80.当x∈[10,12]时,翼人做匀减速运动,v(x)从80开始下降,v(x)=180-10x,u(x)=160-(180-10x)=10x-20.当x∈[12,15]时,翼人做匀加速运动,“速度差函数”u(x)=160-60=100,结合所给的图象.故选D.10.衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为:V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为49a.若一个新丸体积变为827a,则需经过的天数为()A.125B.100C.75D.50【答案】C【解析】由已知,得49a=a·e-50k,∴e-k=49150.设经过t1天后,一个新丸体积变为827a,则827a=a·e-kt1,∴827=(e-k)t1=49t150.∴t150=32,t1=75.11.如图所示,某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系为y=at,有以下几种说法:①这个指数函数的底数为2;②第5个月时,浮萍面积就会超过30m2;③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月;④浮萍每月增加的面积都相等.-5-其中正确的命题序号是______.【答案】①②【解析】由图象知,t=2时,y=4,∴a2=4,故a=2,①正确.当t=5时,y=25=32>30,②正确,当y=4时,由4=2t1,知t1=2,当y=12时,由12=2t2,知t2=log212=2+log23,t2-t1=log23≠1.5,故③错误.浮萍每月增加的面积不相等,实际上增长速度越来越快,④错误.12.在对口扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后,逐步偿还转让费(不计息).根据甲提供的资料有:①这种消费品的进价为每件14元;②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示;③每月需各种固定开支2000元.(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费和各种固定开支后的余额最大?并求最大余额;(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?【解析】设该店月利润余额为L,则由题设得:L=Q(P-14)×100-3600-2000.①由销量图,易得Q=-2P+50,14≤P≤20,-32P+40,20<P≤26,代入①式,得L=2P+50P-14100-5600,14≤P≤20,-32P+40P-14100-5600,20<P≤26.(1)当14≤P≤20时,Lmax=450(元),此时P=19.5(元);-6-当20<P≤26时,Lmax=12503(元),此时P=613(元).故当P=19.5(元)时,月利润余额最大,最大余额为450元.(2)设可在n年后脱贫,依题意有12n×450-50000-58000≥0,解得n≥20,即最早可望在20年后脱贫.
本文标题:2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例限时规范训练 新人
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