2019-2020学年新教材高中数学 综合质量检测 新人教A版必修第一册

1综合质量检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．全集U＝R，A＝{x|x－3，或x≥2}，B＝{x|－1x5}，则集合{x|－1x2}是()A．(∁UA)∪(∁UB)B．∁U(A∪B)C．(∁UA)∩BD．A∩B[解析]由题意知，∁UA＝[－3,2)，又因为B＝(－1,5)，所以(∁UA)∩B＝(－1,2)．故选C.[答案]C2．函数f(x)＝x2x2－1＋lg(10－x)的定义域为()A．RB．[1,10]C．(－∞，－1)∪(1,10)D．(1,10)[解析]要使函数f(x)有意义，需使x2－10，10－x0，解得x－1或1x10.故选C.[答案]C3．已知f(x)＝x2－ax在[0,1]上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0]B．[1，＋∞)C．[2，＋∞)D．(－∞，0]∪[2，＋∞)[解析]函数f(x)＝x2－ax图象的对称轴为直线x＝a2，根据二次函数的性质可知a2≤0或a2≥1，解得a≤0或a≥2.故选D.[答案]D4．下列函数是偶函数且值域为[0，＋∞)的是()①y＝|x|；②y＝x3；③y＝2|x|；④y＝x2＋|x|.A．①②B．②③C．①④D．③④[解析]对于①，y＝|x|是偶函数，且值域为[0，＋∞)；对于②，y＝x3是奇函数；对于③，y＝2|x|是偶函数，但值域为[1，＋∞)；对于④，y＝x2＋|x|是偶函数，且值域为[0，＋∞)，所以符合题意的有①④，故选C.[答案]C25．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．abcB．acbC．cabD．bca[解析]a＝log20.2log21＝0，b＝20.220＝1,0c＝0.20.30.20＝1，即0c1，则acb.故选B.[答案]B6．若sinα0且tanα0，则α2的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第一象限或第三象限D．第三象限或第四象限[解析]因为sinα0且tanα0，所以α位于第二象限．所以π2＋2kπα2kπ＋π，k∈Z，则π4＋kπα2kπ＋π2，k∈Z.当k为奇数时α2是第三象限的角，当k为偶数时α2是第一象限的角，所以角α2的终边在第一象限或第三象限．选C.[答案]C7.函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，且ω0,0≤φ2π)的部分图象如右图所示，则()A．ω＝π2，φ＝π4B．ω＝π3，φ＝π6C．ω＝π4，φ＝π43D．ω＝π4，φ＝5π4[解析]∵T＝4×2＝8，∴ω＝π4.又∵π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4.[答案]C8．函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为()A．2B．3C．4D．5[解析]由f(x)＝2sinx－sin2x＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx(1－cosx)＝0，得sinx＝0或cosx＝1，∵x∈[0,2π]，∴x＝0、π或2π，∴f(x)在[0,2π]的零点个数是3.[答案]B9．已知lga＋lgb＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是()[解析]∵lga＋lgb＝0，∴ab＝1，则b＝1a，从而g(x)＝－logbx＝logax，故g(x)与f(x)＝ax互为反函数，图象关于直线y＝x对称．故选B.[答案]B10．若α∈π2，π，且sinα＝45，则sinα＋π4－22cos(π－α)等于()A.225B．－25C.25D．－2254[解析]sinα＋π4－22cos(π－α)＝22sinα＋22cosα＋22cosα＝22sinα＋2cosα.∵sinα＝45，α∈π2，π，∴cosα＝－35.∴22sinα＋2cosα＝22×45－2×35＝－25.[答案]B11．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则()A．f(x)在0，π2单调递减B．f(x)在π4，3π4单调递减C．f(x)在0，π2单调递增D．f(x)在π4，3π4单调递增[解析]y＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sinωx＋φ＋π4，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，由|φ|π2可得φ＝π4，所以y＝2cos2x在0，π2单调递减．[答案]A12．将函数f(x)＝23cos2x－2sinxcosx－3的图象向左平移t(t0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为()A.2π3B.π3C.π2D.π6[解析]将函数f(x)＝23cos2x－2sinxcosx－3＝3cos2x－sin2x＝2cos2x＋π6的图象向左平移t(t0)个单位，可得y＝2cos2x＋2t＋π6的图象．由于所得图象对应的函数为奇函数，则2t＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，则t的最小值为π6.故选D.[答案]D5第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)14．函数f(x)＝x2－1，x≤0，x－2＋lnx，x0的零点个数为________．[解析]令f(x)＝0，得到x2－1＝0，x≤0，解得x＝－1；或x－2＋lnx＝0，x0，在同一个直角坐标系中画出y＝2－x和y＝lnx的图象，观察交点个数，如图所示．函数y＝2－x和y＝lnx，x0在同一个直角坐标系中交点个数是1，所以函数f(x)在x0时的零点有一个，在x0时零点有一个，所以f(x)的零点个数为2.[答案]2615．若函数f(x)＝3x，x≤0，－2－x，x0，则函数y＝f[f(x)]的值域是________．[解析]当x≤0时，f(x)＝3x∈(0,1]，∴y＝f[f(x)]＝f(3x)＝－2－3x∈－1，－12；当x0时，f(x)＝－2－x∈(－1,0)，y＝f[f(x)]＝f(－2－x)＝3－2－x∈13，1.综上所述，y＝f[f(x)]的值域是－1，－12∪13，1.[答案]－1，－12∪13，116．关于函数f(x)＝cos2x－π3＋cos2x＋π6，给出下列命题：①f(x)的最大值为2；②f(x)的最小正周期是π；③f(x)在区间π24，13π24上是减函数；④将函数y＝2cos2x的图象向右平移π24个单位长度后，与函数y＝f(x)的图象重合．其中正确命题的序号是________．[解析]f(x)＝cos2x－π3＋cos2x＋π6＝cos2x－π3＋sinπ2－2x＋π6＝cos2x－π3－sin2x－π3＝222cos2x－π3－22sin2x－π3＝2cos2x－π3＋π4＝2cos2x－π12，∴函数f(x)的最大值为2，最小正周期为π，故①②正确；又当x∈π24，13π24时，2x－π12∈[0，π]，∴函数f(x)在π24，13π24上是减函数，故③正确；由④得y＝2cos2x－π24＝2cos2x－π12，故④正确．[答案]①②③④三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)718．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cosx·sinx＋π3－3sin2x＋sinxcosx.(1)当x∈0，π2时，求f(x)的值域；(2)用“五点法”在下图中作出y＝f(x)在闭区间－π6，5π6上的简图．[解]f(x)＝2cosx·sinx＋π3－3sin2x＋sinxcosx8＝2cosxsinxcosπ3＋cosxsinπ3－3sin2x＋sinxcosx＝sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋π3.(1)∵x∈0，π2，∴π3≤2x＋π3≤4π3，∴－32≤sin2x＋π3≤1，∴当x∈0，π2时，f(x)的值域为[－3，2]．(2)由T＝2π2，得最小正周期T＝π，列表：x－π6π12π37π125π62x＋π30π2π3π22π2sin2x＋π3020－20图象如图所示．19．(本小题满分12分)已知A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，其中α，β为锐角，且|AB|＝105.(1)求cos(α－β)的值；(2)若cosα＝35，求cosβ的值．9[解](1)由|AB|＝105，得cosα－cosβ2＋sinα－sinβ2＝105，∴2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝25，∴cos(α－β)＝45.(2)∵cosα＝35，cos(α－β)＝45，α，β为锐角，∴sinα＝45，sin(α－β)＝±35.当sin(α－β)＝35时，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝2425.当sin(α－β)＝－35时，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝0.∵β为锐角，∴cosβ＝2425.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，对于任意的m，n∈[－1,1]有fm＋fnm＋n0(m＋n≠0)．(1)判断函数f(x)的单调性；(2)解不等式fx＋12f(1－x)．[解](1)设x1＝m，x2＝－n，由已知可得fx1－fx2x1－x20，不妨设x1x2，则f(x1)f(x2)，由函数单调性的定义可得函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数．(2)由(1)知函数在区间[－1,1]上是增函数．又由fx＋12f(1－x)，得－1≤x＋12≤1，－1≤1－x≤1，x＋121－x，解得0≤x14.10所以不等式fx＋12f(1－x)的解集为x|0≤x14.21．(本小题满分12分)某村电费收取有以下两种方案供用户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元收取．方案二：不收管理费，每度0.58元．(1)求方案一收费L(x)(单位：元)与用电量x(单位：度)间的函数关系；(2)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？(3)老王家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？[解](1)当0≤x≤30时，L(x)＝2＋0.5x；当x30时，L(x)＝2＋30×0.5＋(x－30)×0.6＝0.6x－1，∴L(x)＝2＋0.5x，0≤x≤30，0.6x－1，x30.(注：x也可不取0)(2)当0≤x≤30时，令L(x)＝2＋0.5x＝35得x＝66，舍去；当x30时，由L(x)＝0.6x－1＝35得x＝60，∴老王家该月用电60度．(3)设按方案二收费为F(x)元，则F(x)＝0.58x.当0≤x≤30时，由L(x)F(x)，得2＋0.5x0.58x，解得x25，∴25x≤30；当x30时，由L(x)F(x)，得0.6x－10.58x，解得x50，∴30x50.综上，25x50.故老王家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时，选择方案一比方案二更