2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5.1 函数的零点与方程的解随

14．5.1函数的零点与方程的解1．函数y＝4x－2的零点是()A．2B．(－2,0)C.12，0D.12[解析]令y＝4x－2＝0，得x＝12.∴函数y＝4x－2的零点为12.[答案]D2．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)0，则()A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实数解D．方程f(x)＝0可能无实数解[解析]∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有实数解．[答案]D3．函数y＝lgx－9x的零点所在的大致区间是()A．(6,7)B．(7,8)C．(8,9)D．(9,10)[解析]因为f(9)＝lg9－10，f(10)＝lg10－910＝1－9100，所以f(9)·f(10)0，所以y＝lgx－9x在区间(9,10)上有零点，故选D.[答案]D4．函数f(x)＝lnx＋3x－2的零点个数是________．[解析]解法一：由f(x)＝lnx＋3x－2＝0，得lnx＝2－3x，设g(x)＝lnx，h(x)＝2－3x，图象2如图所示，两个函数的图象有一个交点，故函数f(x)＝lnx＋3x－2有一个零点．解法二：函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，且f1e＝3e－30，f(1)＝10，所以函数f(x)在1e，1内有唯一零点．[答案]15．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？[解]因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－120，f(0)＝20－02＝10，而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．课内拓展课外探究一元二次方程根的分布情况依据函数零点与方程实数根的联系，可以用函数零点的存在性定理及二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根的分布情况．设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a0)的两实数根，则x1，x2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表：(m，n，p为常数，且mnp)34【典例】已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两实根，其中一实根在区间(－1,0)内，另一实根在区间(1,2)内，求m的取值范围；(2)若方程有两个不相等的实根，且均在区间(0,1)内，求m的取值范围．[解](1)令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，依题意得函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出函数的大致图象如右图所示．由图象得f－1＝20，f0＝2m＋10，f1＝4m＋20，f2＝6m＋50，5即m－12，m－12，m－56，∴－56m－12.即m的取值范围是－56，－12.(2)根据函数图象与x轴的两个交点均在区间(0,1)内，画出函数的大致图象如右图所示．由图象得Δ0，0－m1，f00，f10，即m1＋2或m1－2，－1m0，m－12，m－12，∴－12m1－2.即m的取值范围是－12，1－2.[点评]解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合思想，根据判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解．