2020年高中数学 第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.3 空间中的垂直

1第二课时平面与平面垂直课时跟踪检测[A组基础过关]1．设有直线m，n和平面α，β，下列四个命题中，正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α答案：D2．给出下列四个说法：①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在第一个平面内．其中正确的是()A．①③B．②③C．②③④D．④答案：D3．在空间四面体SABC中，SC⊥AB，AC⊥SC，且△ABC是锐角三角形，那么必有()A．平面SAC⊥平面SCBB．平面SAB⊥平面ABCC．平面SAC⊥平面SABD．平面SCB⊥平面ABC解析：∵SC⊥AB，AC⊥SC，AB∩AC＝A，∴SC⊥平面ABC，∵SC⊂平面SCB，∴平面SCB⊥平面ABC，故D正确．答案：D4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥平面α，直线m∥平面β，则下列四种关系中不一定成立的是()2A．直线AB∥mB．直线AC⊥mC．直线AB∥平面βD．直线AC⊥平面β解析：∵m∥α，m∥β，可得m∥l，又AB∥l，∴m∥AB，故A正确；∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m，B正确；∵AB∥l，AB⊄β，l⊂β，∴AB∥β，C正确；C点不一定在平面β内，故D不一定成立，故选D．答案：D5．如图，A，B，C，D为空间中的四个不同点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，CD的值为()A．3B．32C．2D．1解析：当平面ADB⊥平面ABC时，取AB的中点E，连接CE，DE，∵AC＝BC，∴CE⊥AB，∴CE⊥平面ABD，DE⊂平面ABD，∴CE⊥DE.又DE＝32AB＝3，CE＝BC2－BE2＝2－1＝1.∴DC＝CE2＋DE2＝3＋1＝2.故选C．答案：C6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β.其中正确命题的序号是________．答案：①③7．给出下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂3直．其中，为真命题的序号是________．解析：由两个平面垂直的判定定理知②正确；由两个平面垂直的性质定理知④正确；①中的条件应为两条相交直线；③中的条件应为“垂直于同一平面的两条直线”或者“在同一平面内”．故应填②④.答案：②④8．(2018·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.证明：(1)∵PA＝PD，且E为AD的中点，∴PE⊥AD.∵底面ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴PE⊥BC.(2)∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD.∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.又PA⊥PD，PA∩AB＝A，∴PD⊥平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，GD.∵F，G分别为PB和PC的中点，∴FG∥BC，且FG＝12BC.∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，∴ED∥BC，DE＝12BC，∴ED∥FG，且ED＝FG，∴四边形EFGD为平行四边形，∴EF∥GD.4又EF⊄平面PCD，GD⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.[B组技能提升]1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n解析：∵α∩β＝l，∴l⊂β，又n⊥β，∴n⊥l，故选C．答案：C2.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PAEC．BC∥平面PAED．AD⊥平面PBD解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.又AB⊥AE，∴AB⊥平面PAE.又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAE，故选B．答案：B3．如图，三棱锥S－ABC中，三个侧面两两垂直，且三条侧棱SA＝SB＝SC＝a，则该三棱锥的体积为________．解析：由题可知，三棱锥的体积V＝13·12·SA·SB·SC＝a36.答案：a364.如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，AB＝AD＝3，AC＝5，BC＝4，则四面体ABCD的各面中有________组平面互相垂直．5解析：∵AD⊥平面ABC，∴平面ABD⊥平面ABC，平面ACD⊥平面ABC，可得BC⊥平面ABD，∴平面BCD⊥平面ABD，故有3组平面互相垂直．答案：35.如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AB＝AC，D，E分别是棱BC，CC′上的点(点D不同于点C)，且AD⊥BC，F为B′C′的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC′B′；(2)直线A′F∥平面ADE.证明：(1)在△ABC中，∵AD⊥BC，又BB′⊥底面ABC，∴BB′⊥AD，BC∩BB′＝B，∴AD⊥平面BCC′B′.∵AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCC′B′.(2)∵F为B′C′的中点，又AD⊥BC，AB＝AC，∴D为BC的中点，连接DF，∴DF═∥BB′，又AA′═∥BB′，∴DF═∥AA′，∴四边形ADFA′是平行四边形，∴A′F∥AD，A′F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE.∴A′F∥平面ADE.6．(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD︵所在平面垂直，M是CD︵上异于C，D的点．6(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．解：(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为CD︵上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点．连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP.MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.