2019-2020学年高中数学 第三章 概率 3.2 古典概型 3.2.3 互斥事件学案 北师大版必

-1-3.2.3互斥事件[航向标·学习目标]1．掌握两个互斥事件的概率加法公式以及对立事件的概率计算公式．2．正确理解互斥事件与对立事件的区别与联系．[读教材·自主学习]1．互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能□01同时发生的两个事件A与B称为互斥事件．2．如果随机事件A、B为互斥事件，那么事件A＋B的概率的计算公式：□02P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，其中事件A＋B发生是事件A和事件B至少有一个发生．3．如果随机事件A1，A2，…，An两两互斥，那么事件A1＋A2＋…＋An的概率的计算公式：□03P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．4．对立事件：在每一次试验中，两个互斥事件A和B必有□04一个发生，另一个□05一定不发生，我们把这样的两个事件称为对立事件，把事件A的对立事件记为A－.5．随机事件A和其对立事件A的概率之间的关系：□06P(A－)＝1－P(A)．[看名师·疑难剖析]互斥事件与对立事件的关系(1)从定义上看不可能同时发生的两个事件叫作互斥事件．例如：抛一枚硬币，落地时会出现“正面向上”和“反面向上”两种结果．若记“落地时正面向上”为事件A，“落地时反面向上”为事件B，则A，B为互斥事件．再如：抛两枚硬币落地时会出现四种结果“正、反”，“反、正”，“正、正”，“反、反”．若记“第一枚正面向上，第二枚反面向上”为事件A，“第一枚反面向上，第二枚也反面向上”为事件B，则A，B也为互斥事件．必须有一个发生的互斥事件叫作对立事件，也就是说，两个互斥事件在一次试验中必然有一个发生，这样的两个互斥事件就是对立事件．如上面的第一个例子中的事件A，B就是对立事件，而第二个例子中的事件A，B就不是对立事件．因为对第二个例子中的事件A，B来说，不是必有一个发生，也可能发生“正、正”或“反、正”，故“互斥”未必“对立”，而“对立”必然“互斥”．(2)从集合角度看从集合角度看，事件A，B互斥，表示其相应集合的交集是空集，即A∩B＝∅，而由对立事件A－所含的结果组成的集合，是全集I中由事件A所含的结果组成的集合的补集，即A-2-∪A－＝I，A∩A－＝∅，如图所示．(3)从公式上看互斥事件的概率加法公式是：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．其中事件A与B只有一个发生．此公式应用条件：A，B互斥．对立事件的概率公式是：P(A)＋P(A－)＝P(A＋A－)＝1.或变形为：P(A－)＝1－P(A)，这个公式很有用，当直接求某一事件的概率较复杂时，可先转化为求其对立事件的概率．考点一事件关系的判断例1判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．[分析]要判断所给事件是对立还是互斥，首先要将两个概念的联系和区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两个事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上的，两个事件一个不发生，另一个必发生．[解](1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当-3-然不可能是对立事件．类题通法“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的.互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个要发生的互斥事件.因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.[变式训练1]某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少1名男生与全是男生；(3)至少1名男生与全是女生；(4)至少1名男生与至少1名女生．解(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)当选出的是1名男生1名女生时，至少1名男生与至少1名女生同时发生，所以它们不是互斥事件.考点二互斥事件与对立事件的概率例2在掷骰子试验中，定义以下事件：e1＝{出现1点}，e2＝{出现2点}，e3＝{出现3点}，e4＝{出现4点}，e5＝{出现5点}，e6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数大于3}，D2＝{出现的点数小于7}，E＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}．求事件D1，D2，E，G，H发生的概率．[分析]对抛掷一枚质地均匀的骰子来说，出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率均为16，即P(e1)＝P(e2)＝P(e3)＝P(e4)＝P(e5)＝P(e6)＝16.e1，e2，e3，e4，e5，e6就是随机试验掷一枚骰子的所有基本事件，它们两两互斥，事件D1，D2，E，G，H均可转化为这些基本事件的和的形式，再根据概率的加法公式便可求得．[解]由已知即P(e1)＝P(e2)＝P(e3)＝P(e4)＝P(e5)＝P(e6)＝16，又e1，e2，e3，e4，e5，e6就是随机试验掷一枚骰子的全部基本事件，它们两两互斥，并且事件D1＝e4＋e5＋e6；D2＝e1＋e2＋e3＋e4＋e5＋e6；G＝e2＋e4＋e6；H＝e1＋e3＋e5.根据概率的加法公式得：(1)P(D1)＝P(e4)＋P(e5)＋P(e6)＝16＋16＋16＝12；-4-(2)P(D2)＝P(e1)＋P(e2)＋P(e3)＋P(e4)＋P(e5)＋P(e6)＝16＋16＋16＋16＋16＋16＝1；(3)掷一枚骰子，出现的点数只可能是1～6点，不可能出现大于6点，故E为不可能事件，P(E)＝0；(4)P(G)＝P(e2)＋P(e4)＋P(e6)＝16＋16＋16＝12；(5)P(H)＝P(e1)＋P(e3)＋P(e5)＝16＋16＋16＝12.类题通法在求某事件的概率时，我们可以先分析清楚随机试验的所有基本事件，以及该事件包含的随机事件，然后利用概率公式进行求解.[变式训练2]某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率；(3)射中环数不足8环的概率．解设事件“射中10环”，“射中9环”，“射中8环”，“射中7环”，“射中7环以下”分别记为A、B、C、D、E，则(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52.所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87，所以至少射中7环的概率为0.87.(3)P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29，所以射中环数不足8环的概率为0.29.例3一个盒中装有各色球12只，其中5只红球、4只黑球、2只白球，1只绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出的1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．[分析]利用互斥事件和概率公式与对立事件概率公式求解．[解]解法一：(1)从12只球中任取1球得到红球有5种取法，得到黑球有4种取法，得到红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．所以任取1球得红球或黑球的概率为P1＝912＝34.(2)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从而得红球或黑球或白球的概率为P2＝5＋4＋212＝1112.-5-解法二：(利用互斥事件和概率公式求解)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412，P(A3)＝212，P(A4)＝112.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件和概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝1112.解法三：(利用对立事件概率公式求解)(1)由方法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4.所以求取出1红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝34.(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.类题通法1解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定使用哪个公式，不要由于乱套公式而导致出错.2要注意分类讨论和等价转化数学思想的运用.[变式训练3]在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分之间的概率是0.51，在70～79分之间的概率为0.15，在60～69分之间的概率是0.09.计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试不及格(低于60分)的概率．解分别设小明的考试成绩在90分以上、在80～89分之间、在70～79分之间、在60～69分之间依次为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的．根据加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率为：P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.小明考试及格的概率即成绩在60分以上的概率为P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.而小明考试不及格与小明考试及格(成绩60分以上)为对立事件，所以小明考试不及格的概率为1－P(B＋C＋D＋E)＝1－0.93＝0.07.-6-[例]从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A．0.35B．0.3C．0.7D．0.65(一)精妙思路点拨(二)分层规范细解选A.事件“抽到的不是一等品”①的对立事件“抽到的是一等品”，所以P＝1－PA②＝1－0.65＝0.35.(三)来自一线的报告通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：(注：此处的①②见分层规范细解过程)常见错误选B选B的原因是没有读懂题意，想当然的认为①处等价于抽到的是二等品或三等品，所以所求的概率是二者的概率和．事实上，根据所给的概率之和并不等于1，可以知道这箱产品中除了一、二、三等品外，还有其他等级的产品，故事件A的对立事件并不是B＋C.选D选D的原因是没有认真审题，把②处求事件“抽到的不是一等品”的概率误认为求事件A的概率.解题启示解答有关互斥事件的概率的题目，要认真读题，仔细审题，理清各事件间的相互关系，恰当地运用互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率公式.(四)类题练笔掌握-7-有5件产品，其中有3件一级品和2件二级品．从中任取两件，则以0.7为概率