2019-2020学年高中数学 课时作业2 数列的函数特性 北师大版必修5

-1-课时作业(二)1．下列四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})上的函数．②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点．③数列的项数是无限的．④数列的通项公式是唯一的．其中正确的是()A．①②B．①②③C．②③D．①②③④答案A解析数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列的通项公式可以不唯一．例如数列1，0，－1，0，1，0，－1，0…的通项可以是an＝sinnπ2，也可以是an＝cos（n＋3）π2等．2．已知数列{an}的通项公式为an＝n－1n＋1，那么这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列答案A解析an＝n－1n＋1＝1－2n＋1，随着n的增大而增大．3．若函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N*)，则f(n)是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不能确定答案A解析∵f(n＋1)－f(n)＝3(n∈N*)，∴f(2)f(1)，f(3)f(2)，f(4)f(3)，…，f(n＋1)f(n)，…，∴f(n)是递增数列．4．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是()A．103B．10818C．10318D．108-2-答案D5．已知数列{an}满足a10，且an＋1＝12an，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列答案B解析由a10，且an＋1＝12an，则an0，又an＋1an＝121，∴an＋1an.因此数列{an}为递减数列．6．在数列{an}中，已知an＝n＋cn＋1(c∈R)，则对于任意正整数n有()A．anan＋1B．an与an＋1的大小关系和c有关C．anan＋1D．an与an＋1的大小关系和n有关答案B解析∵an＝n＋cn＋1＝n＋1＋c－1n＋1＝1＋c－1n＋1，∴an－an＋1＝c－1n＋1－c－1n＋2＝c－1（n＋1）（n＋2）.当c－10时，anan＋1；当c－10时，anan＋1；当c－1＝0时，an＝an＋1.7．下列叙述中正确的个数为()①数列an＝2是常数列；②数列{(－1)n·1n}是摆动数列；③数列{n2n＋1}是递增数列；④若数列{an}是递增数列，则数列{an·an＋1}也是递增数列．A．1B．2C．3D．4答案C解析①②③正确．对于④，如an为－2，－1，0，1，2，3，…，即不合要求．-3-8．对任意的a1∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图像是()答案A解析据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1an，即函数y＝f(x)的图像上任一点(x，y)都满足yx，结合图像，只有A满足，故选A.9．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中最大的项为第________项．答案5解析∵f(n)＝－2n2＋21n＝－2(n－214)2＋4418(n∈N*)，∴n＝5或6时an最大．∵a5＝55，a6＝54，∴最大项为第5项．10．已知数列{an}的通项公式是an＝2－n，n是奇数，11＋n－2，n是偶数.则它的前4项为________．-4-答案12，45，18，161711．已知数列{an}满足a10，an＋1an＝2，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．答案递增解析由已知a10，an＋1an＝2，得an0.又an＋1－an＝2an－an0，所以{an}是递增数列．12．已知an＝n－98n－99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是第________项和第________项．答案10913．已知an＝a(12)n(a为常数且a≠0)，试判断{an}的单调性．下面是一学生的解法，这种解法对吗？如果不对给出你的结论．∵an－an－1＝a(12)n－a(12)n－1＝－a(12)n0，∴{an}是递减数列．解析这种解法误认为a0，所以不对，对于非零实数a应讨论a0和a0两种情况．∵an－an－1＝－a(12)n(n≥2)，∴当a0时，an－an－10.∴anan－1.∴{an}是递减数列；当a0时，an－an－10，∴anan－1.∴{an}是递增数列．14．已知数列{an}为13，－12，35，－23，…(1)写出数列的通项公式；(2)计算a10，a15，a2n＋1；(3)证明：数列{|an|}是递增数列．解析(1)原数列变形为：13，－24，35，－46，…，分别考查数列的分子，分母与项数n的关系以及符号相间出现，第一项为正，所以数列的通项公式为an＝(－1)n＋1nn＋2.(2)当n＝10，则a10＝－1012＝－56；当n＝15时，则a15＝1517；-5-将an中n换成2n＋1时，得a2n＋1＝(－1)2n＋2·2n＋12n＋3.(3)令bn＝|an|(n∈N*)，则bn＝|(－1)n＋1nn＋2|＝nn＋2.∵bn＋1－bn＝n＋1（n＋1）＋2－nn＋2＝2（n＋3）（n＋2）0.∴bn＋1bn.即对一切正整数n，恒有|an＋1||an|成立．因此数列{|an|}为递增数列．讲评本题求解时，若与函数的定义，函数相关的性质联系容易理解，an＝f(n)即为函数的解析式；a10＝f(10)，即是函数在n＝10的函数值；a2n＋1＝f(2n＋1)即为函数代换，将函数中的变量n换成了2n＋1；当|an＋1||an|时，则数列在n∈N*时为递增数列，这与函数单调递增定义一样，即对一切正整数n当n＋1n，都有|an＋1||an|，说明数列中每一项大于前一项，即为递增数列．15．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)求数列{an}中有多少项是负数？(2)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值．解析(1)令an＝n2－5n＋40，解得1n4.∵n∈N*，∴n＝2，3.(2)an＝n2－5n＋4＝(n－52)2－94，∴当n＝2或3时，an取得小值，最小值为－2.数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前n项)及相邻两项或多项间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式，如an＝2an－1＋1(n1)．【例1】已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．【解析】∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；-6-a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.【例2】数列{an}满足a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an.(1)写出此数列的前8项；(2)求a2015.【解析】a3＝a2－a1＝3；a4＝a3－a2＝－3；a5＝a4－a3＝－6；a6＝a5－a4＝－3；a7＝a6－a5＝3；a8＝6；……∴此数列为6项一循环(即此数列具有周期性)．∴a2015＝a5＝－6.【例3】已知数列{an}，a1＝2，an＝2an－1(n≥2)，求数列的通项公式an.【解析】∵a1＝2，an＝2an－1，∴anan－1＝2.∴an＝anan－1·an－1an－2·…·a3a2·a2a1·a1＝2×2×…×2×2×2n个＝2n.【例4】已知a1＝1，an＋1＝2anan＋2，求通项公式an.【解析】∵a1＝1，an＋1＝2an2＋an，∴a2＝2a12＋a1＝23，a3＝2a22＋a2＝12，a4＝2a32＋a3＝25，a5＝2a42＋a4＝13.∴它的前5项依次是1，23，12，25，13.它的前5项又可写成21＋1，22＋1，23＋1，24＋1，25＋1.故它的一个通项公式为an＝2n＋1.【练习1】已知数列{an}的项满足an＋1＝nn＋2an，而a1＝1，通过计算a2，a3，猜想an-7-等于()A.2（n＋1）2B.2n（n＋1）C.12n－1D.12n－1【解析】a1＝1＝21×2，∵an＋1＝nn＋2an，∴a2＝13＝22×3.同理a3＝16＝23×4.猜想an＝2n（n＋1）.【答案】B【练习2】函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2015＝________．x12345f(x)51432【解析】由题意可得x1，x2，x3，x4，x5，…的值分别为2，1，5，2，1，…，故数列{xn}是周期为3的周期数列．∴x2015＝x3×671＋2＝x2＝1.【答案】1【练习3】在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，写出此数列的前6项，并猜想数列的通项公式．【解析】a1＝2，a2＝3，a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5，a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9，a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17，a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.可猜想an＝2n－1＋1.【练习4】根据下列5个图形及相应的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．-8-【解析】图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；……；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.