2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.2.1.1 函数的单调性学案 新

1第1课时函数的单调性1．理解函数单调区间、单调性等概念．2．会划分函数的单调区间，判断单调性．3．会用定义证明函数的单调性．1．函数的单调性温馨提示：定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1x2；2(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．温馨提示：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它是函数的一个局部性质．(2)函数f(x)在定义域的某个区间D上单调，不一定在定义域上单调．如f(x)＝x2等．(3)并非所有的函数都具有单调性，如f(x)＝1，x是偶数0，x是奇数，它的定义域是N，但不具有单调性．1．观察下列函数图象：(1)从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？(2)甲、乙图中，若x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是什么？(3)丙图中，若x1x2，f(x1)f(x2)，则自变量x属于哪个区间？如何用符号表示这一现象．[答案](1)甲：自变量x增大时，函数f(x)也随之变大乙：自变量x增大时，函数f(x)随之减小丙：在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小；在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大(2)甲：∵x1x2，∴f(x1)f(x2)乙：∵x1x2，∴f(x1)f(x2)(3)[0，＋∞)．∀x1，x2∈[0，＋∞)，若x1x2，则f(x1)f(x2)2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2在R上是增函数．()(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．()(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“∀x1，x2”改为“∃x1，x2”．()3(4)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，则f(x)在[3,4]上也为增函数．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√题型一函数单调性的判断与证明【典例1】证明函数f(x)＝x＋4x在(－∞，－2)上是增函数．[思路导引]设出∀x1x2－2，判定f(x1)与f(x2)的大小关系．[证明]∀x1，x2∈(－∞，－2)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4x2－x1x1x2＝x1－x2x1x2－4x1x2.∵x1x2－2，∴x1－x20，x1x24，x1x2－40.∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．∴函数f(x)＝x＋4x在(－∞，－2)上是增函数．证明或判断函数单调性的方法步骤[针对训练]41．求证：函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．[证明]∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1x2，有f(x1)－f(x2)＝1x21－1x22＝x22－x21x21x22＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵x1x20，∴x2－x10，x1＋x20，x21x220.∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(－∞，0)上是增函数．∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，有f(x1)－f(x2)＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵0x1x2，∴x2－x10，x2＋x10，x21x220.∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数.题型二求函数的单调区间【典例2】求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝1x－1；(2)f(x)＝|x2－3x＋2|.[思路导引](1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2)作出函数y＝x2－3x＋2的图象，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，结合图象写出f(x)的单调区间．[解](1)函数f(x)＝1x－1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，∀x1，x2∈(－∞，1)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝1x1－1－1x2－1＝x2－x1x1－1x2－1.因为x1x21，所以x2－x10，x1－10，x2－10，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．(2)f(x)＝|x2－3x＋2|5＝x2－3x＋2，x≤1或x≥2，－x2－3x＋2，1x2.作出函数的图象，如图所示．根据图象，可知，单调递增区间是1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和32，2.(1)求函数单调区间的2种方法①定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．②图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间．(2)求函数单调区间的注意点一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．[针对训练]2．函数f(x)＝1x＋2的单调递减区间是________________．[解析]函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x1x20时，f(x1)－f(x2)＝1x1＋2－1x2＋2＝x2－x1x1x20，∴f(x)在(－∞，0)上为减函数；当0x1x2时，f(x1)－f(x2)＝1x1＋2－1x2＋2＝x2－x1x1x20，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．[答案](－∞，0)，(0，＋∞)63．作出函数f(x)＝－x－3，x≤1，x－22＋3，x1的图象，并指出函数的单调区间．[解]f(x)＝－x－3，x≤1，x－22＋3，x1的图象如图所示．由图象可知：函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞).题型三函数单调性的应用【典例3】(1)已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在[4，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．(2)已知y＝f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是减函数，且f(1－a)f(2a－1)，求a的取值范围．[思路导引]二次函数的单调性由开口方向及对称轴确定，与函数值有关的不等式问题依据单调性转化为自变量的不等关系．[解](1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的增区间是[1－a，＋∞)．又∵已知f(x)在[4，＋∞)上是增函数，∴1－a≤4，即a≥－3.∴所求实数a的取值范围是[－3，＋∞)．(2)∵f(x)在R上是减函数，且f(1－a)f(2a－1)，∴1－a2a－1，得a23，∴a的取值范围是－∞，23.[变式](1)若本例(1)条件改为“函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2的单调递增区间为[4，＋∞)”，其他条件不变，如何求解？(2)若本例(2)中“定义域(－∞，＋∞)”改为“定义域(－1,1)”，其他条件不变，如何求解？[解](1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的递增区间为[1－a，＋∞)．∴1－a＝4，得a＝－3.7(2)由题意可知－11－a1，－12a－11.解得0a1.①又f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a)f(2a－1)，∴1－a2a－1，即a23.②由①②可知，0a23，即所求a的取值范围是0，23.函数单调性的3个应用要点(1)二次函数的单调性由于只与对称轴及开口方向有关，因此处理起来较容易，只需结合图象即可获解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围．(3)需注意若一函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[针对训练]4．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是()A．f(a)f(2a)B．f(a2)f(a)C．f(a2＋a)f(a)D．f(a2＋1)f(a2)[解析]∵f(x)在(－∞，＋∞)为减函数，且a2＋1a2，∴f(a2＋1)f(a2)．选D.[答案]D5．函数f(x)＝x2－2mx－3在区间[1,2]上单调，则m的取值范围是________．[解析]二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f(x)＝x2－2mx－3的对称轴为x＝m，函数在区间[1,2]上单调，则m≤1或m≥2.[答案]{m|m≤1或m≥2}课堂归纳小结1.若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减，如函数y＝1x.2.对增函数的判断，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，也可以用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0或fx1－fx2x1－x20.8对减函数的判断，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0或fx1－fx2x1－x20.3.熟悉一些常见函数的单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.4.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，③1fx单调递减(f(x)≠0).5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商fx1fx2与1比较.1．如图所示，函数y＝f(x)在下列哪个区间上是增函数()A．[－4,4]B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4][解析]观察题中图象知，函数在[－3,1]上是增函数．[答案]C2．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是()A．y＝x2－2B．y＝3xC．y＝1＋2xD．y＝－(x＋2)2[解析]选项A，B在(－∞，0)上为减函数，选项D在(－2，0]上为减函数，只有选项C满足在(－∞，0]内为增函数．故选C.[答案]C3．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A.12，＋∞B.－∞，12C.－12，＋∞D.－∞，12[解析]由一次函数的性质得2a－10，即a12.故选D.9[答案]D4．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)f12的实数x的取值范围为________．[解析]因为f(x)在区间[－1,1]上为增函数，且f(x)f12，所以－1≤x≤1，x12，解得－1≤x12.[答案]－1，125．已知函数f(x)＝x－1x＋1，判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性并用定义证明．[解]f(x)在(0，＋∞)上单调递增．证明如下：任取x1x20，f(x1)－f(x2)＝x1－1x1＋1－x2－1x2＋1＝2x1－x2x1＋1x2＋1，由x1x20知x1＋10，x2＋10，x1－x20，故f(x1)－f(x2)0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增．课后作业(十九)复习巩固一、选择题1．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上()A．必是增函数B．必是减函数C．是增函数或减函数D．无法确定单调性[解析]函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－1x在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不