一次函数中的存在性问题讲义

1一次函数之存在性问题（讲义）一、知识点睛存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查______________.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：1.把函数信息（______________）转化为几何信息；2.分析特殊状态的形成因素，画出_____________________；3.结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的____________建立等式来解决问题．二、精讲精练1.如图，直线y33x3与x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第3一象限内的点，由点P，O，B组成了一个含60°角的直角三角形，则点P的坐标为_________________．22.如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且OC4.OB3（1）求点B的坐标和k的值．（2）若点A是第一象限内直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=62，点C的坐标为（-9，0）．（1）求点B的坐标．（2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，OB3，点C是直OA43线y=kx+3上与A，B不重合的动点．过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．0），P（x，y）是直线y1x2上的一个动点2（点P不与点A重合）．（1）在点P的运动过程中，试写出△OPC的面积S与x之间的函数关系式．2）当点P运动到什么位置时，△OPC的面积为27？求出8此时点P的坐标．3）过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E，F两点，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，4参考答案】、知识点睛存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：4.把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息；5.分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；6.结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题．二、精讲精练1．（1，3）或（3，3）或（3，3）或（3，33）444442．（1）B（3，0），k43（2）A（6，4）13（3）P1（213，0）或P2（-213，0）或P3（12，0）或P4（，0）33．（1）B（-3，6）（2）y=-x+3（3）P1（3，0）或P2（52，332）或P3（32，332）或P4（3，3）22222212612244．（12，6）或（12，24）或（4，6）55554121243）P1（，）或P2（-，）55554.如图，直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，OB3，点C是直OA453x3（x4）34x3（x4）3x3（x4）179192）P1（17，9）或P2（1，9）2424一次函数之存在性问题（随堂测试）（1）求点B的坐标和k的值．（2）若点A（x，y）是第一象限内直线y=kx-1上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是2？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．（1）OC11.如图，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于点B，点C，且OC1．OB236【参考答案】11．（1）B（2，0），k12（2）A（6，2）（3）P1（210，0）或P2（-210，0）或P3（12，0）或P4（10，0）6.如图，直线yx4与x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第二象限内的点，若点P，O，A组成了一个含30°角的直角三角形，则点P的坐标为7一次函数之存在性问题（作业）7.如图，将Rt△AOB放入平面直角坐标系中，点x轴上，点B在y轴上，OB=23，∠BAO=30°，将△AOB沿直线BE折叠，使得边OB落在AB上，点O与点D重合．1）求直线BE的解析式．2）求点D的坐标．3）x轴上是否存在点P，使△PAD是等腰三角形？若存在，求出点P的6.如图，直线yx4与x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第二象限内的点，若点P，O，A组成了一个含30°角的直角三角形，则点P的坐标为8坐标；若不存在，请说明理由.98.如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，点B，已知A（2，0），B（0，4），线段CD的两端点在坐标轴上滑动（点C在y轴上，点D在x轴上），且CD=AB．（1）求直线AB的解析式；（2）当点C在y轴负半轴上，且△COD和△AOB全等时，求点D的坐标．109.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P（x，y）是直线AB上一动点（点P不与点A重合），点C的坐标为（6，0），O是坐标原点，设△PCO的面积为S．（1）求S与x之间的函数关系式．（2）当点P运动到什么位置时，△PCO的面积为15？（3）过点P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于点E，点F，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11参考答案】（1，3）或（-3，3）或（4，43）或（4，43）32．（1）y3x23（2）D（-3，3）（3）P1（4，0）或P2（623，0）或P3（623，0）或P4（0，0）3．（1）y=-2x+4（2）D1（4，0）或D2（-2，0）或D3（2，0）或D4（4，0）3x24（x8）4．（1）S3x24（x8）（2）（3，5）或（13，-5）（3）（0，8）1．12一次函数之动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题的特征是______________，主要考查运动的_____．1.一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①________________________把函数信息（）转化为基本图形的信息；②________________________分析运动过程，注意_____，确定对应的；③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案．2.解决具体问题时会涉及_________________，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s=vt直接表达______或________；②根据研究几何特征的需求进行表达，既要利用________________，又要结合__________．二、精讲精练31.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线yx3与x轴、y4轴分别交于A，B两点．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．（1）求OA，OB的长．（2）过点P与直线AB垂直的直线与y轴交于点E，在点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．13142.如图，直线y=3x+43与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线BC与x轴交于点C，∠ABC=60°．（1）求直线BC的解析式．（2）若动点P从点A出发沿AC方向向点C运动（点P不与点A，C重合），同时动点Q从点C出发沿折线CB—BA向点A运动（点Q不与点A，C重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．（3）当t=4时，y轴上是否存在一点M，使得以A，Q，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．153.如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，11），C（0，5），点D为线段BC的中点．动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA—AB—BD的路线运动，至点D停止，设运动时间为t秒．（1）求直线BC的解析式．（2）若动点P在线段OA上运动，当t为何值时，四边形1OPDC的面积是梯形COAB面积的？43）在动点P的运动过程中，设△OPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．4.如图，直线y3x43与x轴交于点A，与直线y3x交于点P．3（1）求点P的坐标．（2）求△OPA的面积．（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿OA方向向终点A运动，过点E作EF⊥x轴交线段OP或线段PA于点F，FB⊥y轴于点B．设运动时间为t秒，矩形OEFB165.如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别交于A，B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的17速度运动，它与x轴、y轴分别交于M，N两点，设运动时间为t秒（0t4）．（1）求A，B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重三、回顾与思考【参考答案】一、知识点睛速度已知，过程．1．①坐标或表达式；②状态转折，时间范围．2．线段长的表达；①已走路程，未走路程；②动点的运动情况，基本图形信息．二、精讲精练1．（1）OA=4，OB=3；叠部分的面积为18t=1或t=7y3x43M1(0，438)或M2(0，438)或M3(0，43)或M4(0，3yx54t32（2）2．（1）（2）（3）3．（1）（2）（3）4．（1）（2）（3）5．（1）（2）（3）4t(0t≤8)S2t48(8t≤19)2t48(19t24)P(3，3)233t2S653t2163t2432A(4，0),B(0，4)S11t2212t2S223t28t82(0t≤2)(2t4)(0t≤3)(3t4)(0t≤4)(4t8)19一次函数之动点问题（随堂测试）1.如图，直线l1：y3x23与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线l2：y3x63与x轴交于点C，与直线l1交于点P．（1）求点P的坐标．（2）动点M从点C出发，以每秒2个单位的速度沿折线CP-PB向点B匀速运动（点M不与点C重合），设△OMC的面积为S，运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．1（3）当t为何值时，△OMC的面积是△APC面积的？4参考答案】1．（1）P（2，43）3）2）33t33t243(0t≤4)(4t≤6)20一次函数之动点问题（作业）1.如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线y=-x+b过点B且与x轴交于点C．（1）求直线BC的表达式．（2）若动点P从点C出发沿CA方向向点A运动（点P不与点A，C重合），同时动点Q从点A出发沿折线AB-BC向点C运动（点Q不与点A，C重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设△CPQ的面积为S，运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．2.已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，∠AOC=90°，AB=4，AO=8，OC=10，以O为原点建立平面直角坐标系，点D为线段BC的中点．动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度，沿折线AO-OC-CD向终点D运动，设运动时间为t秒．（1）求点D的坐标；（2）在动点P的运动过程中，设△OPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．y21OAx223.如图，直线yx42与x轴交于点A，与直线yx交于点B．（1）求点B的坐标．（2）判断△OAB的形状并说明理由．（3）动点D从原点O出发，以每秒