6.3-二重积分的应用

6.3二重积分的应用•内容提要几何应用：曲面的面积物理应用：平面薄片的质心和转动惯量•教学要求理解二重积分的几何应用与物理应用定积分的元素法1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]；2)设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任意一个小区间并记作[x,x+dx],求出相应于这个小区间的部分量△U的近似值。如果△U能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x)与dx的乘积，就把f(x)dx称为量U的元素且记作dU,即dU=f(x)dx;3)以所求量U的元素f(x)dx为被积表达式，在区间[a,b]上作定积分，得badxxfU)(这就是所求量U的积分表达式——这种方法通常叫做元素法.问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.DdyxfU),(若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域时，相应地部分量可近似地表示为的形式，其中在内．这个称为所求量U的元素，记为，所求量的积分表达式为dddyxf),(dyxf),(),(yxdU和定积分一样，重积分在几何、物理、力学等方面有许多应用，解决这类问题的关键是建立被积表达式。我们仍采用定积分的元素法来处理这些应用问题。一般说来，如果所求量对于区域具有可加性，总可采用“分割作近似求和取极限”的方法，便可将该量表示为在区域D上的重积分。所谓“元素法”，就是在一个典型的小区域d上表示出其部分量的近似值dyxf),(即求所求量的微元素。于是所求量就可以表示为：DdyxfU),(这就是所求量的积分表达式.１．设曲面的方程为：),(yxfz,Dxoy面上的投影区域为在,),(dyx点.)),(,,(的切平面上过为yxfyxMS.dsdAdAdsszd则有，为；截切平面为柱面，截曲面轴的小于边界为准线，母线平行以如图，d),(yxMdAxyzso6.3.1.曲面的面积,Dd设小区域,面上的投影在为xoydAd,cosdAd,11cos22yxffdffdAyx221,122DyxdffA曲面S的面积元素曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz22)()(1xyDyxdxdyffA221也可以写成：当曲面的方程为：),(xzhy曲面面积公式为：.122dzdxAzxDxyzy当曲面的方程为：),(zygx曲面面积公式为：;122dydzAyzDzxyx同理可得计算立体表面积A的一般过程：1.,()xyzfxyxoyD如果曲面表达式为（，），则将曲面向坐标面上投影得平面投影区域无重影dffdAyx221dxdyAxyDyzxz22)()(1则2.计算曲面面积元素：例6.7.R求半径为的球的表面积222,zRxy上半球面方程为2 22: ,zxyDxyR因为对和对的偏导数在上无界解所以上半球面面积不能直2221:(,)DxyaaR因此先求在区域上的部分球面面积222222xyaRdxdyRxy22200ardrRdRr222()RRRa222lim22.()aRRRRaR于是上半球面面积为2124  .AAR整个球面面积为.接求出.然后取极限222221+()()xyazzdxdyxy222.xyR6.3.2.质心设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，求平面薄片的质心坐标。d),(yxxyo如图所示，薄片对两坐标轴的力矩元素分别为：(,)xdMyxyd(,)ydMxxyd当薄片是均匀的，此时,1DxdAx.1DydAyDdA其中,),(),(DDydyxdyxxMMx.),(),(DDxdyxdyxyMMy(,)xDMyxyd所以薄片对两坐标轴的力矩分别为：薄片的质心为：(,)yDMxxyd例6.92sin4sin.求位于两圆和之间的均匀薄片的质心,),(,DyCxyy因为闭区域对称于轴所以质心必位于轴上0.x于是解因为2sinDDyddd4sin202sinsin7dd22213Dd7733DDydyd所以，(.70,)3C于是所求质心是6.3.3.转动惯量d),(yxxyo设对x轴转动惯量为Ix则dyxydIx),(2,),(2DxdyxyI.),(2DydyxxI同理可得：平面质量片关于坐标轴的转动惯量如图所示对y轴转动惯量为Iy：例6.10).(a求半径为的均匀半圆薄片面密度为常量对于其直径边的转动惯量解,取坐标系如图D则薄片所占闭区域可表示为222{,),0}Dxyxyay,x于是所求转动惯量即半圆薄片对于轴的转动惯量222sinxDDIyddd4232000sinsin4aaddd4211424aMa22.1Ma其中为半圆薄片的质量元素法物理应用：物体的质心、转动惯量小结几何应用：曲面的面积