极坐标参数方程题型归纳7种

......参考材料极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳一、极坐标方程与直角坐标方程的互化1.(2015·广东理，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ－π4＝2，点A的极坐标为A22，7π4，则点A到直线l的距离为________．[立意与点拨]本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离．二、参数方程与直角坐标方程的互化【解析】椭圆方程为：14622yx，因为1cossin22xx，令cos2sin6yx，则有X+2y=sin6+cos4=sin166,最大值22，最小值22三、根据条件求直线和圆的极坐标方程四、求曲线的交点及交点距离4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为x＝t－1t，y＝t＋1t(t为参数)，l与C相交于A，B......参考材料两点，则|AB|＝________．【解析】直线l的极坐标方程ρ(sinθ－3cosθ)＝0化为直角坐标方程为3x－y＝0，曲线C的参数方程x＝t－1t，y＝t＋1t两式经过平方相减，化为普通方程为y2－x2＝4，联立3x－y＝0，y2－x2＝4解得x＝－22，y＝－322或x＝22，y＝322.所以点A－22，－322，B22，322.所以|AB|＝－22－222＋－322－3222＝25.5.在平面直角坐标xOy中，已知直线l的参数方程x＝1－22t，y＝2＋22t，(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，求线段AB的长．[解析]解法1：将l的方程化为普通方程得l：x＋y＝3，∴y＝－x＋3，代入抛物线方程y2＝4x并整理得x2－10x＋9＝0，∴x1＝1，x2＝9.∴交点A(1,2)，B(9，－6)，故|AB|＝82＋82＝82.解法2：将l的参数方程代入y2＝4x中得，(2＋22t)2＝4(1－22t)，解之得t1＝0，t2＝－82，∴|AB|＝|t1－t2|＝82.6.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝32t(t为参数)．以原点为......参考材料极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sinθ.(1)写出⊙C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．[立意与点拨]考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t的函数，转化为函数最值求解．[解析](1)由ρ＝23sinθ，得ρ2＝23ρsinθ，从而有x2＋y2＝23y，所以x2＋(y－3)2＝3.(2)设P(3＋12t，32t)，又C(0，3)，则|PC|＝3＋12t2＋32t－32＝t2＋12，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0)．五、利用参数方程求最值(转化与化归思想和函数思想)[立意与点拨](用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)8．(2015·新课标Ⅱ高考)在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23cosθ.......参考材料(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【解】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝0，或x＝32，y＝32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和32，32.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.(此题C1代表的是一条过原点的直线)因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4sinα－π3.当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.9．(2015·商丘市二模)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：ρsinθ－π6＝12，曲线C的参数方程为：x＝2＋2cosα，y＝2sinα.(1)写出直线l的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．[解析](1)∵ρsinθ－π6＝12，∴ρ32sinθ－12cosθ＝12，∴32y－12x＝12，即l：x－3y＋1＝0.(2)解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(2＋2cosα，2sinα)，所以，曲线C上的点到直线l的距离d＝|2＋2cosα－23sinα＋1|2＝4cosα＋π3＋32≤72.所以最大距离为72.解法二：曲线C为以(2,0)为圆心，2为半径的圆．圆心到直线的距离为32，所以，最大距离为32＋2＝72.......参考材料10．(文)(2014·新课标Ⅰ理，23)已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l：x＝2＋ty＝2－2t(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．[解析](1)曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ，(θ为参数)直线l的普通方程为：2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝55|4cosθ＋3sinθ－6|.则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝43.(将d=|AB|sin30利用三角关系进行转化，转化化归思想，高考考点考察学生思维能力)当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255.六、直线参数方程中的参数的几何意义......参考材料方法一：方法二：根据直线参数方程中t的几何意义，可知，弦长=|t1-t2|.得：053154153154122tttt，方程化简，然后用韦达定理求弦长=|t1-t2|=212214tttt=...........参考材料13.(理)在直角坐标系xOy中，过点P(32，32)作倾斜角为α的直线l与曲线C：x2＋y2＝1相交于不同的两点M、N.(1)写出直线l的参数方程；(2)求1|PM|＋1|PN|的取值范围．(根据直线参数方程中t的几何意义,用参数t表示所求量1|PM|＋1|PN|，然后用t的二次方程的韦达定理，转化成三角函数进而求范围，此题较难)[解析](1)x＝32＋tcosα，y＝32＋tsinα，(t为参数)．(2)将x＝32＋tcosα，y＝32＋tsinα.(t为参数)代入x2＋y2＝1中，消去x，y得，t2＋(3cosα＋3sinα)t＋2＝0，由Δ＝(3cosα＋3sinα)2－8＝12sin2(α＋π6)－80⇒sin(α＋π6)63，1|PM|＋1|PN|＝1－t1＋1－t2＝－t1＋t2t1t2＝3cosα＋3sinα2＝3sin(α＋π6)∈(2，3]．七、求动点坐标、求变量的值14.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝32t(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sinθ.(1)写出⊙C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．......参考材料[立意与点拨]考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t的函数，转化为函数最值求解．[解析](1)由ρ＝23sinθ，得ρ2＝23ρsinθ，从而有x2＋y2＝23y，所以x2＋(y－3)2＝3.(2)设P(3＋12t，32t)，又C(0，3)，则|PC|＝3＋12t2＋32t－32＝t2＋12，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0)．(此处用参数t来表示所求距离，然后当作变量为t的二次函数，求最值)15.(2016全国卷I)在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为,sin1,costaytaxt(为参数，)0a．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线cos4:2C．（Ⅰ）说明1C是哪一种曲线，并将1C的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C的极坐标方程为0，其中0满足2tan0，若曲线1C与2C的公共点都在3C上，求a．【解析】：⑴cos1sinxatyat（t均为参数）,∴2221xya①∴1C为以01，为圆心，a为半径的圆．方程为222210xyya∵222sinxyy，,∴222sin10a即为1C的极坐标方程⑵24cosC：,两边同乘得22224coscosxyx，224xyx,即2224xy②,3C：化为普通方程为2yx由题意：1C和2C的公共方程所在直线即为3C,①—②得：24210xya，即为3C∴210a,∴1a（圆与圆交点所在直线的求法，联立圆方程，两方程相减,可得变量的方程）16．(文)(2015·唐山市二模)在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a0)，l：ρcosθ－π3＝32，C与l有且仅有一个公共点．(1)求a；(2)O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB＝π3，求|OA|＋|OB|的最大值．[解析](1)曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆；l的直角坐标方程为x＋3y－3＝0.......参考材料由直线l与圆C相切可得|a－3|2＝a，解得a＝1.(求符合条件的变量值，建立等量关系，解方程)(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋π3，则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cosθ＋π3＝3cosθ－3sinθ＝23cosθ＋π6，当θ＝－π6时，|OA|＋|OB|取得最大值23.(用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)