2013年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析

2013年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2013•北京）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}考点：交集及其运算．菁优网版权所有专题：集合．分析：找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．解答：解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B={﹣1，0}．故选B点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•北京）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bcB．C．a2＞b2D．a3＞b3考点：不等关系与不等式．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．解答：解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．点评：熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键．3．（5分）（2013•北京）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上是单调递减的是（）A．B．y=e﹣xC．y=﹣x2+1D．y=lg|x|考点：奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：根据函数是奇函数，得A项不符合题意；根据函数y=e﹣x是非奇非偶函数，得B项不符合题意；根据二次函数y=﹣x2+1的图象是开口向下的抛物线且关于y轴对称，得到C项符合题意；根据对数函数的单调性，得函数y=lg|x|在（0，+∞）上是增函数，可得D项不符合题意．解答：解：对于A，函数满足f（﹣x）=﹣=﹣f（x），可得函数是奇函数，且不是偶函数，可得A项不符合题意；对于B，函数y=e﹣x不满足f（﹣x）=f（x），得函数不是偶函数，可得B项不符合题意；对于C，函数y=﹣x2+1满足f（﹣x）=﹣（﹣x）2+1=﹣x2+1=f（x），∴函数y=﹣x2+1是R上的偶函数又∵函数y=﹣x2+1的图象是开口向下的抛物线，关于y轴对称∴当x∈（0，+∞）时，函数为减函数．故C项符合题意对于D，因为当x∈（0，+∞）时，函数y=lg|x|=lgx，底数10＞1所以函数y=lg|x|在区间（0，+∞）上是单调递增的函数，可得D项不符合题意．故选：C点评：本题给出几个基本初等函数，要我们找出其中的偶函数且在区间（0，+∞）上是单调减的函数，着重考查了基本初等函数的性质和函数单调性与奇偶性等知识，属于基础题．4．（5分）（2013•北京）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数．分析：首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．解答：解：∵复数z=i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i∴复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选A．点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．5．（5分）（2013•北京）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．1考点：正弦定理．菁优网版权所有专题：解三角形．分析：由正弦定理列出关系式，将a，b及sinA的值代入即可求出sinB的值．解答：解：∵a=3，b=5，sinA=，∴由正弦定理得：sinB===．故选B点评：此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6．（5分）（2013•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1B．C．D．考点：程序框图．菁优网版权所有专题：算法和程序框图．分析：从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．解答：解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行，i=0+1=1；判断1≥2不成立，执行，i=1+1=2；判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．故选C．点评：本题考查了程序框图，考查了直到型结构，直到型循环是先执行后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足结束循环，是基础题．7．（5分）（2013•北京）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．m≥1C．m＞1D．m＞2考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑．分析：根据双曲线的标准形式，可以求出a=1，b=，c=．利用离心率e大于建立不等式，解之可得m＞1，最后利用充要条件的定义即可得出正确答案．解答：解：双曲线，说明m＞0，∴a=1，b=，可得c=，∵离心率e＞等价于⇔m＞1，∴双曲线的离心率大于的充分必要条件是m＞1．故选C．点评：本题虽然小巧，用到的知识确实丰富的，具有综合性特点，涉及了双曲线的标准方程、几何性质等几个方面的知识，是这些内容的有机融合，是一个极具考查力的小题．8．（5分）（2013•北京）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个考点：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离．分析：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，即可得到各顶点的坐标，利用两点间的距离公式即可得出．解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），∴=（﹣3，﹣3，3），设P（x，y，z），∵=（﹣1，﹣1，1），∴=（2，2，1）．∴|PA|=|PC|=|PB1|==，|PD|=|PA1|=|PC1|=，|PB|=，|PD1|==．故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，共4个．故选：B．点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系及两点间的距离公式是解题的关键．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•北京）若抛物线y2=2px的焦点坐标为（1，0），则p=2；准线方程为x=﹣1．考点：抛物线的简单性质．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线的性质可知，知=1，可知抛物线的标准方程和准线方程．解答：解：∵抛物线y2=2px的焦点坐标为（1，0），∴=1，p=2，抛物线的方程为y2=4x，∴其标准方程为：x=﹣1，故答案为：2，x=﹣1．点评：本题考查抛物线的简单性质，属于基础题．10．（5分）（2013•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为3．考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有专题：立体几何．分析：利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积．解答：解：几何体为底面边长为3的正方形，高为1的四棱锥，所以体积．故答案为：3．点评：本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．11．（5分）（2013•北京）若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=2；前n项和Sn=2n+1﹣2．考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式和已知即可得出，解出即可得到a1及q，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴，解得．∴==2n+1﹣2．故答案为：2，2n+1﹣2．点评：熟练掌握等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式是解题的关键．12．（5分）（2013•北京）设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为．考点：简单线性规划．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：首先根据题意作出可行域，欲求区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值，由其几何意义为点A（1，0）到直线2x﹣y=0距离为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案．解答：解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点A（1，0）到直线2x﹣y=0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==，则区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值等于．故答案为：．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13．（5分）（2013•北京）函数的值域为（﹣∞，2）．考点：对数函数的值域与最值；函数的值域．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：通过求解对数不等式和指数不等式分别求出分段函数的值域，然后取并集得到原函数的值域．解答：解：当x≥1时，f（x）=；当x＜1时，0＜f（x）=2x＜21=2．所以函数的值域为（﹣∞，2）．故答案为（﹣∞，2）．点评：本题考查了函数值域的求法，分段函数的值域要分段求，最后取并集．是基础题．14．（5分）（2013•北京）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为3．考点：向量在几何中的应用．菁优网版权所有专题：平面向量及应用．分析：设P的坐标为（x，y），根据，结合向量的坐标运算解出，再由1≤λ≤2、0≤μ≤1得到关于x、y的不等式组，从而得到如图的平行四边形CDEF及其内部，最后根据坐标系内两点间的距离公式即可算出平面区域D的面积．解答：解：设P的坐标为（x，y），则=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|==，点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d==∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=×=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为：3点评：本题在平面坐标系内给出向量等式，求满足条件的点P构成的平面区域D的面积．着重考查了平面向量的坐标运算、二元一次不等式组表示的平面区域和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2013•北京）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及最大值；（Ⅱ）若α∈（，π），且f（α）=，求α的值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦函数以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求f（x）的最小正周期，利用三角函数的最值求出函数的最大值；（Ⅱ）通过，且，求出α的正弦值，然后求出角即可．解答：解：（Ⅰ）因为==∴T==，函数的最大值为：．（Ⅱ）∵f（x）=，，所以，∴，k∈Z，∴，又∵，∴．点评：本题考查二倍角的余弦函数正弦函数的应用，两角和的正弦函数，三角函数的周期与最值的求法，以及角的求法，考查计算能力．16．（13分）（2013•北京）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）考点：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用