梁昆淼-数学物理方法第3和4章

第三章幂级数展开§3.2幂级数§3.3泰勒级数展开§3.4解析沿拓§3.1复数项级数§3.5洛朗级数展开§3.6孤立奇点的分类称级数复数项级数和,2,1,0kivuwkkk111kkkkkkviuwnkknkknkkviuw111前n项和若Fwnkkn1lim有限1kkw收敛于F这时uunkkn1limvvnkkn1lim也收敛nF§3.1复数项级数1、复数项级数pnnnnpn21pnnkkw1科西收敛判据：(级数收敛必要条件)对于任意0,有N，使得nN时p为任意正整数绝对收敛：1kkw122kkkvu收敛2、复变函数项级数)()()(211zwzwzwkk各项都是z的函数对于B（或l上）任意z,给定0,总有N(z)，使得nN(z)时pnnkkzw1)(称为级数在B上一致收敛此时，若每项连续，则和连续20201000)()()(zzazzaazzakkk令：1、比值判别法§3.2幂级数讨论幂级数为以z0为中心的幂级数202010)()(zzazzaa考虑kkkkkzzazza)()(lim0101)(lim01zzaakkk11limkkkaaRRzz)(0绝对收敛1发散绝对收敛2、根值判别法发散1)(lim0kkkkzzaRzz)(0绝对收敛1)(lim0kkkkzza发散kkkaR1limRzz)(0绝对收敛Rzz)(0发散3、收敛圆与收敛半径的收敛半径例：求幂级数1ka以z0为圆心半径为R的圆内级数绝对收敛，这个圆称为收敛圆。R为收敛半径1事实上：0kkz解：收敛圆：以0为圆心半径为1nkkz0zzn1110kkzzznn11lim11z如z11)1(z1limkkkaaR1z的收敛半径例：求幂级数kka)1(1公比为02)1(kkkz解：收敛圆：以0为圆心半径为102)1(kkkz2z1z如211z)1(z1limkkkaaR1z的收敛半径例：求幂级数02)2/(kkz解：kkkaR221limkkk222/11lim200)()(kkkzzazf定理：设f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内的任意z点，f(z)可展开为其中：§3.3泰勒级数展开!)()()(210)(101kzfdzfiakCkkR0zz0zzCR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆CR1CR证：cauch公式0zz0zz1)(21)(RCdzfizf)(1100zzzz)/()(111000zzzz20000011zzzzzzz100zzz00001kkzzzz0100)()(kkkzzzCRCR1而由cauch公式1)(21)(RCdzfizf1)()()(210100RCkkkdfzzzi1)()(121)(1000RCkkkdfzizzlkkdzfikzf1)()()(2!)(00)()(kkkzzazf!)(0)(kzfakk展开例：在z0=0邻域上把公比为zezf)(解：!!212kzzzkzkklim!)(0)(kzfakk0!1zkzkdzedk!1kze1limkkkaaR0!kkkz展开例：在z0=0邻域上把zzfsin)(解：z和zzfcos)()(21sinizizeeiz)!)(!)((2100kkkkkizkizi)!)(!)((2100kkkkkizkizi012)!12()1(kkkkz)(21cosizizeez02)!2()1(kkkkzz展开例：在z0=0邻域上把zzf11)(解：1z21zzz110kkz展开例：在z0=0邻域上把211)(zzf211z02kkz1z展开例：在z0=1邻域上把zzfln)(解：zzfln)(1ln)1(fin2zzf1)('2!1)(''zzf3)3(!2)(zzfkkkzkzf)!1()1()()(1)1('f1)1(''f!2)1()3(f)!1()1()1()(kfkkzlnkkzkkzzin)1(!)!1()1()1(!2!1)1(!1122zlnkkzkkzzin)1(!)!1()1()1(!2!1)1(!1122kkzkzzin)1()1()1(21)1(22)11(z§3.4解析沿拓比较两个函数：1zz11201zzzkk除z=1以外设某个区域b上的解析函数f(z)，找出另一函数F(z),它在含有b的一个较大的区域B上解析，且在区域b上等于f(z)和两者在较小区域等同bB称F(z)为f(z)的解析沿拓1、解析沿拓概念设f(z)，F(z)在某个区域B上解析，若在B的任一子区域b中f(z)F(z)，则在整个区域B上必有f(z)F(z)。2、解析沿拓唯一性概念§3.5洛朗级数展开考虑如下幂级数202010101202)()()()(zzazzaazzazzakkkzza)(0正幂部分收敛半径为R1负幂部分，记=1/(z-z0),级数33221aaa的收敛圆半径为1/R2=即在z-z0=R2圆外收敛圆kkkaaR/lim)1(2kkkzza)(0在圆环R2z-z0R1内绝对一致收敛圆kkkzzazf)()(0定理：设f(z)在圆环R2z-z0R1内单值解析，则对圆环内的任意z点，f(z)可展开为其中：Ckkdzfia10)()(21C为圆环内按逆时针方向饶内圆一周的任意闭合曲线C2RC0z1R2R1RCz证：由复通区域cauch公式21'')(21)(21)(RRCCdzfidzfizf1')(21RCdzfi11000)()(21)(RCkkkdzfizzC2RC0z1R2R1RCz对于C‘R2)(00zzzz00zzz而C2RC0z1R2R1RCz21'')(21)(21)(RRCCdzfidzfizf)(1100zzzz)/()(111000zzzzz20000011zzzzzzzz00001kkzzzzzC2RC0z1R2R1RCz21'')(21)(21)(RRCCdzfidzfizf00001kkzzzzz2')(21RCdzfi2'0100)()()(21RCkkkdfzzziz121'')(21)(21)(RRCCdzfidzfizf2'0100)()()(21RCllldfzzzi11000)()(21)(RCkkkdzfizz2'00)1(0)()(21)(RCllldfzizz11000)()(21)(RCkkkdzfizz2'00)1(0)()(21)(RCllldfzizz11000)()(21)()(RCkkkdzfizzzf令k=-(l+1)11000)()(21)()(RCkkkdzfizzzf2'1010)()(121)(RCkkkdfzizzl=-(k+1)11000)()(21)()(RCkkkdzfizzzf2'1010)()(121)(RCkkkdfzizz由复通区域cauch定理CkCkdzfdzfR1010)()()()(1CkCkdzfdzfR1010)()()()(2C2RC0z1R2R1RCzCkkkdzfizzzf100)()(21)()(上述洛朗级数展开唯一kkkzzazf)()(0其中：Ckkdzfia10)()(21或写为展开例：在z0=0邻域上把zzzf/sin)(解：z012)!12()1(sinkkkkzzzzzf/sin)(02)!12()1(kkkkzz0z0展开为洛朗级数例：在上把)1/(1)(2zzf解：z1222/111111zzz02211kkzzz10221kkzz1642111zzz展开为洛朗级数例：在上把)1/(1)(2zzf解：10z)1)(1(1112zzz111121zz11z只有一个奇点-1在z0=1的邻域21z可展开为泰勒级数21111zz2/)1(1121z021)1(21kkkz21z112z111121zz021)1(411121kkkzz022)1()1(1121kkkkzz210z展开为洛朗级数例：在上把)2)(1(1)(zzzf解：00z)2)(1(1zz1121zz有两个奇点z=1,z=2在z0=0的邻域可在以下三个区域进行洛朗级数展开1z（1）00)2/(21kkkkzz)2/1(2111)(zzzf01)211(kkkzzzz/111111)2/1(12121zz0)/1(1kkzz011kkz0)2/(21kkz012kkkz010112)(kkkkkzzzf1121)(zzzf21z（2）zzz/111111zzz/2111210)/1(1kkzz011kkz0)/2(1kkzz012kkkz010112)(kkkkkzzzf1121)(zzzf1112kkkzz2（3）展开为洛朗级数例：在上把)1(21)(zzxezf解：00zz)21exp(xz0)21(!1llxzl)21exp(xz0)21(!1nnxznz0nmnnmxznxznm)21(!1)21()!(100上两项乘积中，令l=m+n,有正幂部分zm为nmnnmxznxznm)21(!1)21()!(100002)2(!)!()1(mnmnmnzxnnm0