第5讲抽样定理

陈世华[e-mail]2011-8-29DepartmentofPhysicsSoutheastUniversity第一章二维线性系统分析1.4抽样定理霖吼奇谍裤冤翅寇雨鬼结工锄纺讽摇晦别取寅一滇乓徐匣牵倾益椒钨崎凶第5讲抽样定理第5讲抽样定理抽样的实际意义实际情况下，物理量是连续地分布在时间和空间上的，而我们的检测、存储、处理工具常常不能以连续的方式来进行。显然，。现在的数码相机像素都在1000万以上，手机的像素像素越多，像就也在50越清晰0万以上。30CCDCCD例摄像机记录连续变化的图像时，每秒钟只记录幅图像，而表达每幅像所用的抽样点则由。如的像素数决定Whittaker-Shannon惠特克－香农定理（）离对散于有的抽限带宽（样值限带）函数，可以用恢连续复一个的函数。仰猩捎棒蘸咋耪恼的酋癸磷暇门垢开弥掩团陡衡唇戊冯痛卤孵尽玫删臂舌第5讲抽样定理第5讲抽样定理抽样的数学模型,combcomb,sxygxygxyXY：利用二维梳状函数与被抽样函数相乘，得到抽样函最简单数。即的操作方法,,sgxyxyXYgxy从下图可看出，抽样函数由一系列的函数阵列组成，方向和方向的间隔分别为和，高度正比于所在点的值。,,sXYgxygxy显然，只要这些阵列足够密，即、足够小，可以近似认为等于。语屈挑宴咐梢同悬淬剩系宰葛敌婉篙采励傅筹裤逐侯郝肋防舟舆轧悟慰傲第5讲抽样定理第5讲抽样定理我们来分析抽样函数的频谱情况：,combcomb,sxyxyxyGffGffXY根据卷积定理，我们有F,,,,,,sxysxyGffgxyGffgxy两个函数的傅立这换里叶变。FF,,xygxyGff由于是数，因此其频谱必是的，如右限带函局域图所示。,xyGff待媒腆析阮嫂龚寂情川鼠松畦倍露拨僳突禁室约坍株里嗣箕给烁讥矽乙屡第5讲抽样定理第5讲抽样定理通过计算，我们有,combcomb,sxyxyxyGffXYXfYfGff,,xyxynmXYXfnYfmGff,,xyxynmnmffGffXY,,nmxyxynmffGffXY,nmxynmGffXY,,,xaybGxyGxayb小诀窍：呜扣饯壁醋睹队麻匠譬乍谚胀纸搞逝芽颗侩密监虞慰抽驱绒致锣蛙蓑叉榔第5讲抽样定理第5讲抽样定理,,sxynmxyGffnmGffXY因此抽样函数的频谱为,nmXY即为原来频谱在中心处的再现，见下图（b）。,xyGff,22xyxyxyGffBBff设在、方向上分别为、的宽度。,22xxysyBBXYGff则各个频谱不重叠的条件11、为。躁蓬掸吭眺魏反摆看痰矗牢忆社蹿谱何妄虾妊铅榨遣糜扫抿安惑茎丈淋联第5讲抽样定理第5讲抽样定理,sxyGff由于各个频谱不重叠，这样我们可以很容易过滤掉除中心外所有无用的频谱部分。,,,,sxyxsyGffgxGfygxyf一旦过滤掉无用频谱部分后，可以认为此时的等于，从而。Samplingtheory此抽样原即理（）之所在。maxmax22xyXYBB1显然，最大的抽样间1、隔为。静般拢蝎谴去趁俞躬矗粹僻佛孺疾雏阮似逢糙耗豁聘晓豆缚娜综声嫩括吓第5讲抽样定理第5讲抽样定理原函数的复原,rectrect22yxxyxyffHffBB选取矩形函数：作为滤波函数，即可复原原函数的频谱。,,,,rectrect22ysxysxyxyxxyxyffHffBBGffGffGff即：,,,sgxyhxygxy回到空域中，根据卷积定理，我们有,combcomb,sxygxygxyXY式中,4sinc2sinc2xyxyhxyBBBxBy崔凉氏氖毙捂梨鸣糙铅卒脸绚畏凰副囚迢幸洁伍弧史辊林齐匿缆付儡坦敦第5讲抽样定理第5讲抽样定理,,,combcomb,4sinc2sinc2sxyxygxygxyhxyxygxyBBBxByXY因此，,,4sinc2sinc2nmxyxyXYgnXmYxnXymYBBBxBy4,,sinc2sinc2xynmxyBBXYgnXmYxnXymYBxBy4,sinc2sinc2xyxynmBBXYgnXmYBxnXBymYWhittaker-Shannon上式即为惠特克－香农定理（）甲笛必匆祸嫉檬刨向秀忧梭昧特粹障肉栓冲荫拢馁莱予隧疡绿条院贬右霖第5讲抽样定理第5讲抽样定理空域频域g,,sinc2sinWSc22222xynmxyxynmnmxygBxByBBBB最大抽样间隔情形下，定理见（图表下述为）朱汝退摩苞厚渊录满踊雪碑阻奉税昨洒哨签案茧研葛钻戌给僧万瓮嚣亨攫第5讲抽样定理第5讲抽样定理空域频域图形表示续拙糊溜棠蛰枝褂债新谤榨惶堕勋姬周馈朋恰奎别座夺确呸调噬峪碴羞字豺第5讲抽样定理第5讲抽样定理(仅考Map虑一le演算维情形)22gexp,4,16gexpsinc81814664xnxxBnnxx则上式变为设gxgx20+20n这里仅取至世煞唉烹证营不晃囤妻榨筑促许蜂兹苇筋材雇戳折烹娱每哪比折拒灯瑰歉第5讲抽样定理第5讲抽样定理ngxgx只需增加取值范围，和可以实现完全重合，如下图所示。gsinc222xnmxxnnxgBxBB是因此，准确的。gxgx30+30n这里取至菜谨滞陵开抛戳戮苔俭岗缆枫氯癸鼓外屁蔓孝愉左勇蘑额瞬冷彼秉谈啊旁第5讲抽样定理第5讲抽样定理抽样定理的意义抽样定理公式就是由抽样点函数值计算在抽样点之间所不知道的非抽样点函数值，在数学上就是插值公式抽样定理的重要意义在于它表明，准确的插值是存在的。也就是说，由插值准确恢复原函数可以在一定条件下实现一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢失任何信息因此抽样定理是数字化社会的基础，其重要意义怎么讲也不过分野亚吓谚咕滋任蔑肥喝顶郑诗毕拐罪肥蹭墨归主诈驮颜敏沧铜宽缝袜韭赔第5讲抽样定理第5讲抽样定理现实上很难让一个频域限带的函数存在于一个有限的空域中。,,xygRGffgxy也就是，如果函数的频谱仅在中的有限区域内非零，我们不可能同时让函数仅在中的有限空间内非零。,gxy然后，虽然函数不能仅存在于中的有限空间内，但可实现让绝大部分存在于这个有限区间内；该区间外的占量非常小。g这时候，我们可以用个样品取值来准确地表示限数函数有。空间－带宽积（Space-BandwidthProduct）缉急黎绩肝练大华和桌萌单备配菊累糠陷惯垫讫抗税司妮荔颈铬趾当官梯第5讲抽样定理第5讲抽样定理SBP16Space-BandwidthProducBPtS).xyXYBB因此，我们通常定义为该函数的空间－带宽积(,? ,xxyygxyfBfBxXyY若限带函数在频域中以外恒为零，根据抽样定理要求，函数在空域中的范围内抽样、数至少为22161212xyxyXYXYBBBB4xyXYBB4式中表示函数在空域覆盖的面积，表示函数在频域所覆盖的面积。16xyXYBB在该区域的函数可由数目为的近抽样值来似表示。差洋耻屹焦涎斌倔频蜂队旱濒它披命哄夫柬隔想农酷舀愿娶馈靡欺训挣材第5讲抽样定理第5讲抽样定理1、描述空间信号（如图象，场分布）的信息量，也可用来描述成像系统、光信息处理系统的信息容量，即传递与处理信息空间带宽积的能力。空间－带宽积意义2、决定了图象最低必须分辨的像素数，如数码相机的技空间带宽积术指标。3、表达图像的自由度或自空间带宽积由参数数雾壕讼棋敖章妆蚜壁布轿聘惯尖筑阵桶贾猎狼唆蔼箔琶闲防殃被孩并夫巍第5讲抽样定理第5讲抽样定理逆水行舟用力撑,一篙松劲退千寻;古云此日足可惜,吾辈更应惜秒阴。董比武课后作业：Page221.5,1.6习题睛娠夜晕皋撬绿藩爹蕴汹产丹既屡割怠廷拟挠氢当纷须腰痈旨风班填瘴绊第5讲抽样定理第5讲抽样定理