2015年河南省中考数学试题及答案解析

2015年河南省普通高中招生考试试卷数学注意事项：1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟，请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在试卷上．2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚．题号一二三总分1～89～151617181920212223分数一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内．1．下列各数中最大的数是【】（A）5（B）3（C）π（D）－82．如图所示的几何体的俯视图是【】3．据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40570亿元．将数据40570亿用科学记数法表示为【】（A）4.0570×l09（B）0.40570×l010（C）40.570×l011（D）4.0570×l0124．如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数为【】（A）550（B）600（C）700（D）75。5．不等式组1305＞xx的解集在数轴上表示为【】6．小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2∶3∶5的比例确定成绩，则小王的成绩是【】（A）255分（B）184分（C）84.5分（D）86分7．如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF＝6，AB＝5，则AE的长为【】（A）4（B）6（C）8（D）108．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线．点P从原点D出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是【】（A）（2014,0）（B）（2015,－1）（C）（2015,1）（D）（2016,0）二、填空题（每小题3分，共21分）9．计算：（－3）0＋3－1＝.10．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC．若BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝.11．如图，直线kxy与双曲线xy2（x＞0）交于点A（1，a，）则k＝.12．已知点A（4，y1），B（2，y2），C（－2，y3）都在二次函数1)2(2xy的图象上，则y1，y2，y3，的大小关系是.13．现有四张分别标有数字1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是.14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝900，点C为OA的中点，CE⊥OA交⌒AB于点E．以点O为圆心，OC的长为半径作⌒CD交OB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为.15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B'处．若△CDB'恰为等腰三角形，则DB'的长为.三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：)11(22222abbababa，其中a＝5＋1，b＝5－1.17．（9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连接PD，PO．（1）求证：△CDP≌△POB;（2）填空：①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为_________________;②连接OD，当∠PBA的度数为________时，四边形BPDO是菱形．18．（9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）这次接受调查的市民总人数是__________;（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是__________;（3）请补全条形统计图；（4）若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数．19．（9分）已知关于x的一元二次方程（x－3）（x－2）＝m．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．20．（9分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，3≈1.73）21．（10分）某游泳馆普通票价20元／张，暑期为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元／张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元／张，每次凭卡另收10元．暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元．（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A，B，C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α（1）问题发现①当α＝0°时，BDAE；②当α＝180°时，BDAE.（2）拓展探究试判断：当0°≤α360°时，BDAE的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．23．（11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D，E的坐标分别为（0，6），（－4，0），连接PD，PE，DE．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．2015年河南省普通高中招生考试数学试题参考答案及评分标准说明：1．如果考生的解答与本参考答案提供的解法不同，可根据提供的解法的评分标准精神进行评分．2．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定对后面给分的多少，但原则上不超过后继部分应得分数之半．3．评分标准中，如无特殊说明，均为累计给分．4．评分过程中，只给整数分数．一、选择题（每小题3分，共24分）题号12345678答案ABDACDCB二、填空题（每小题3分，共21分）题号9101112131415答案34232y3＞y1＞y2851223π16或45三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．原式＝abbababa)(2)(2……………………………4分＝baabba2………………………………6分＝2ab.………………………………6分当a＝15,b＝15时，原式＝22152)15)(15(………………8分17．（1）∵D是AC的中点，且PC＝PB,∴DP//AB,DP＝21AB．∴∠CPD＝∠PBO．……………3分∵OB＝21AB，∴DP＝OB.∴△DPU）△POB.…………………5分（2）①4:；…………………………………．7分②60。．（注：若填为60，不扣分）……………………9分18．（1）1000；…………………2分（2）54。：（注：若填为54，不扣分）…………………．4分（3）（按人数为100正确补全条形图）；………………6分（4）80×（26%＋40%）＝80×66%＝52.8（万人）．所以估计该市将“电脑和手机上网”作为“获取新闻最主要途径”的总人数约为52．8万人.…………………9分19．（1）原方程可化为x2－5x＋6－m＝0．…………………．1分∴Δ＝（－5）2－4×l×（6－m）＝25－24＋4m＝1＋4m．………………．3分∵m≥0，∴1＋4m＞o．∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．……………4分（2）把x＝l代入原方程，得m＝2．∴m＝±2．………………6分把m＝2代入原方程，得x2－5x＋4＝0.∴x1＝1，x2＝4．∴m的值为±2，方程的另一个根是4．………9分20．延长BD交AE于点G，过点D作DH⊥AE于点H．由题意知：∠DAE＝∠BGA＝30°,DA＝6，∴GD＝DA＝6．∴GH＝AH＝DA·cos30°＝6×23＝33.∴GA＝63.…………………2分设BC的长为x米，左Rt△GBC中，GC＝∠BACtanBC＝°30tanx＝x3……4分在Rt△ABC中，AC＝∠ACtanBC＝°48tanx………6分∵GC－AC＝GA，∴3x－°48tanx＝63………8分∴x≈13．即大树的高度约为13米．………………9分21．（1）银卡：y＝10x＋150；………1分普通票：y＝20x．…………2分（2）把x＝0代入y＝l0x＋150，得y＝150．∴A(0,150).………3分由题意知1501020xyxy∴30015yx∴B(15,300)………4分把y＝600代入y＝l0x＋150,得x＝45．∴C（45,600）．………………5分（3）当0x15时，选择购买普通票更合算；（注：若写为0≤x15，不扣分）当x＝15时，选择购买银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当15x45时，选择购买银卡更合算；当x＝45时，选择购买金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当x＞45时，选择购买金卡更合算．……………10分22．(1)①25;………………1分②25.……2分（2）无变化．（注：若无判断，但后续证明正确，不扣分）…………………．3分在图1中,∵DE是△ABC的中位线，∴DE//AB．∴CBCDCACE,∠EDC＝∠B＝90°．如图2，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，∴CBCDCACE仍然成立．…………………………4分又∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△ACE∽△BCD．∴BCACBDAE.……………6分在Rt△ABC中，AC＝54842222BCAB.∴.25854BCAC∴.25BDAE……………………………………8分(3)455125或……………………………………10分【提示】当△EDC在BC上方，且A,D,E三点共线时，四边形ABCD为矩形，∴BD＝AC＝54;当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，由勾股定理可求得AD＝8，∴AE＝6，根据.25BDAE可求得BD＝551223．（1）抛物线解析式为y＝－81x2＋8．……………………………………3分（2）正确，理由：设P(x,－81x2＋8），则PF＝8－(－81x2＋8)＝81x2．………………………4分过点P作PM⊥y轴于点M,则PD2＝PM2＋DM2＝（－x2）＋[6－(－81x2＋8)]2＝2222)281(421641xxx∴PD＝2812x……………………………………6分∴PD－PF＝2281281xx＝2∴猜想正确，……………………7分（3）“好点”共有11个；………………………9分在点P运动时，DE大小不变，∴PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小．∴PD－PF＝2，∴PD＝PF＋2．∴PE＋PD＝PE＋PF＋2．．当P，E，F三点共线时，PE＋PF最小．此时点P，E的横坐标都为－4．将x＝－4代入y＝8812x，得y＝6．∴P（－4，6），此时△P