9-第九讲-有限元四边形单元

基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元1.单元的几何和节点描述(4-50)(4-51)基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元2.单元位移场的表达单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示从图可以看出，节点条件共有8个，即x方向4个，y方向4个，因此，x和y方向的位移场可以各有4个待定系数，即取以下多项式作为单元的位移场模式(4-52)基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元2.单元位移场的表达单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示(4-53)(4-54)基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元2.单元位移场的表达单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示(4-55)基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元2.单元位移场的表达单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示将式(4-54)写成矩阵形式，有(4-57)基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元3.单元应变场的表达单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示(4-58)(4-59)基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元3.单元应变场的表达将式(4-59)写成子矩阵形式，有(4-60)(4-61)基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元4.单元应力场的表达由弹性力学中平面问题的物理方程，可得到单元的应力表达式(4-61)基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元5.单元势能的表达(4-62)(4-63)基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元6.4节点矩形单元的线性应变和应力由单元的位移表达式可知，4节点矩形单元的位移在x，y方向呈线性变化，所以称为双线性位移模式，正因为在单元的边界x=±a和y=±b上，位移是按线性变化的，且相邻单元公共节点上有共同的节点位移值，可保证两个相邻单元在其公共边界上的位移是连续的，这种单元的位移模式是完备(completeness)和协调(compatibility)的，它的应变和应力为一次线性变化，因而比3节点常应变单元精度高。基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元7.采用无量纲坐标（自然坐标）基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元7.采用无量纲坐标（自然坐标）基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元7.采用无量纲坐标（自然坐标）基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元8.基于4节点四边形单元的矩形薄板分析基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元9.三角形单元与矩形单元计算精度的比较基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元9.三角形单元与矩形单元计算精度的比较基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元(1)建模方案1的有限元分析列式基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元位移场、应变场及应力场的分布如图所示(1)建模方案1的有限元分析列式基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元(1)建模方案1的有限元分析列式(4-72)基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元(2)建模方案2的有限元分析列式基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元(2)建模方案2的有限元分析列式位移场、应变场及应力场的分布如图所示基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元(2)建模方案2的有限元分析列式(4-77)基本概念连续体结构有限元分析平面问题的4节点矩形单元9.三角形单元与矩形单元计算精度的比较从以上计算可以看出，用三角形单元计算时，由于形函数是完全一次式，因而其应变场和应力场在单元内均为常数；而四边形单元其形函数带有二次式，计算得到的应变场和应力场都是坐标的一次函数，但不是完全的一次函数，对提高计算精度有一定作用；根据最小势能原理，势能越小，则整体计算精度越高，从式(4-72)与式(4-77)比较两种单元计算得到的系统势能，可以看出，在相同的节点自由度情况下，矩形单元的计算精度要比三角形单元高。