高考必考题突破讲座2

状元桥优质课堂高考必考题突破讲座(二)三角函数与平面向量的综合问题高考总复习·数学（文科）目录高考必考题突破讲座返回目录题型特点考情分析命题趋势2018·北京卷，162018·天津卷，162018·浙江卷，182017·江苏卷，162017·浙江卷，18从近几年的高考试题看，全国卷交替考查三角函数、解三角形．该部分解答题是高考得分的基本组成部分，考查的热点题型有：一是考查三角函数的图象变换以及单调性、最值等；二是考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题.分值：12分主要是在三角恒等变换的基础上融合正、余弦定理，在知识的交汇处命题仍然是命题的关注点.返回目录题型一三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y＝sinx，y＝cosx的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解．返回目录2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤(1)将f(x)化为asinx＋bcosx的形式．(2)构造f(x)＝a2＋b2aa2＋b2·sinx＋ba2＋b2·cosx.(3)和角公式逆用，得f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)．(4)利用f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)研究三角函数的性质．(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．返回目录【例1】(2017·山东卷)设函数f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，其中0＜ω＜3.已知fπ6＝0.(1)求ω；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在－π4，3π4上的最小值．返回目录解析(1)因为f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，所以f(x)＝32sinωx－12cosωx－cosωx＝32sinωx－32cosωx＝312sinωx－32cosωx＝3sinωx－π3.因为fπ6＝0，所以ωπ6－π3＝kπ，k∈Z.故ω＝6k＋2，k∈Z.又0＜ω＜3，所以ω＝2.返回目录(2)由(1)得f(x)＝3sin2x－π3，所以g(x)＝3sinx＋π4－π3＝3sinx－π12.因为x∈－π4，3π4，所以x－π12∈－π3，2π3，当x－π12＝－π3，即x＝－π4时，g(x)取得最小值－32.返回目录素养解读本题中图象的变换考查了直观想象的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．返回目录【突破训练1】设函数f(x)＝32－3sin2ωx－sinωxcosωx(ω0)，且y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值．返回目录解析(1)f(x)＝32－3·1－cos2ωx2－12sin2ωx＝32cos2ωx－12sin2ωx＝－sin2ωx－π3.因为y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T＝4×π4＝π.又ω0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.返回目录(2)由(1)知f(x)＝－sin2x－π3.当π≤x≤3π2时，5π3≤2x－π3≤8π3，所以－32＝sin5π3≤sin2x－π3≤sin5π2＝1，所以－1≤f(x)≤32，即f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.返回目录题型二解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题．返回目录2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化．第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．返回目录【例2】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cos(C＋B)cos(C－B)＝cos2A－sinCsinB.(1)求A；(2)若a＝3，求b＋2c的最大值．解析(1)cos(C＋B)cos(C－B)＝cos2A－sinCsinB＝cos2(C＋B)－sinCsinB，则cos(C＋B)[cos(C－B)－cos(C＋B)]＝－sinCsinB，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB，可得cosA＝12，因为0＜A＜π，所以A＝60°.返回目录(2)由asinA＝bsinB＝csinC＝23，得b＋2c＝23(sinB＋2sinC)＝23[sinB＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈0，π2.由B∈0，2π3得B＋φ∈0，7π6，所以sin(B＋φ)的最大值为1，所以b＋2c的最大值为221.返回目录素养解读试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．返回目录【突破训练2】(2017·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，a＝5，c＝6，sinB＝35.(1)求b和sinA的值；(2)求sin2A＋π4的值．返回目录解析(1)在△ABC中，因为ab，故由sinB＝35，可得cosB＝45.由已知和余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB＝13，所以b＝13.由正弦定理得sinA＝asinBb＝31313.(2)由(1)及ac，得cosA＝21313，所以sin2A＝2sinAcosA＝1213，cos2A＝1－2sin2A＝－513.故sin2A＋π4＝sin2Acosπ4＋cos2A·sinπ4＝7226.返回目录题型三三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．返回目录【例3】(2019·佛山调考)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－3sin2x)，b＝(cosx,1)，x∈R.(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，求边长b和c的值．返回目录解析(1)f(x)＝a·b＝2cos2x－3sin2x＝1＋cos2x－3sin2x＝1＋2cos2x＋π3，由2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，所以f(x)的单调递减区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．返回目录(2)因为f(A)＝1＋2cos2A＋π3＝－1，所以cos2A＋π3＝－1.因为0＜A＜π，所以π3＜2A＋π3＜7π3，所以2A＋π3＝π，即A＝π3.由a＝7和余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc＝7.①因为向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，所以2sinB＝3sinC．由正弦定理得2b＝3c，②由①②可得b＝3，c＝2.返回目录素养解读本题(1)中利用向量的数量积公式和三角函数变换公式求单调区间，考查了数学运算的核心素养；(2)中利用向量共线和正、余弦定理得到b，c的方程并求解，考查了逻辑推理和数学运算的核心素养．返回目录【突破训练3】已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cosB，cosC)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，求a＋c的取值范围．返回目录解析(1)因为m＝(cosB，cosC)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，所以(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，所以cosB(2sinA＋sinC)＋sinBcosC＝0，所以2cosBsinA＝－sin(B＋C)＝－sinA.因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以cosB＝－12.因为0Bπ，所以B＝2π3.返回目录(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos2π3＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－a＋c22＝34(a＋c)2，当且仅当a＝c时，等号成立．所以(a＋c)2≤4，故a＋c≤2.又a＋cb＝3，所以a＋c的取值范围是(3，2]．