华东船舶工业学院高等数学教学执行大纲

——1江苏科技大学普通本科生转专业选拔考试《高等数学》科目考试大纲（适用于申请转入工学、理学类专业[信息与计算科学、统计学除外]的学生）一、课程内容本课程包括一元函数微分学，一元函数积分学，空间解析几何，多元函数微分学，多元函数积分学，级数，常微分方程。二、各章考试内容及考试要求第一单元函数与极限考试知识点：函数概念，函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，函数的极限概念，两个重要极限，极限的收敛准则，极限的运算，函数连续的概念，闭区间连续函数的性质。考核要求：理解函数的概念。了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。了解反函数的概念，理解复合函数的概念。熟悉基本初等函数的性质及其图形。会根据一些简单实际问题建立函数关系式。掌握极限四则运算法则。了解两个极限存在淮则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。了解无穷小、无穷大的概念，会用无穷小的比较求极限。理解函数连续的概念。了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大值、最小值定理）。第二单元一元函数微分学考核知识点：导数定义，微分定义，导数和微分的运算，高阶导数，隐函数的导数，参数方程所确定的函数的导数，微分中值定理，罗必塔（L’Hospital）法则，泰勒公式，用导数研究函数的单调性与极值、函数图形的凹凸性与拐点，了解曲率的计算方法。考核要求：理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。——2熟悉导数和微分的运算法则（包括微分形式不变性）和导数的基本公式。了解高阶导数的概念。会求一些简单函数的n阶导数。掌握求初等函数的一阶、二阶导数。了解隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的求法。理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理（应用不作过高要求）。了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。理解函数的极值概念。会判断函数增减性，会求函数的极值，会判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。掌握罗必塔（L’Hospital）法则。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。第三单元一元函数积分学考核知识点：原函数，不定积分，不定积分的换元法与分部积分法，简单的有理函数的积分，简单的无理函数的积分，积分上限函数的导数，牛顿－莱布尼兹公式，定积分的换元法与分部积分法，反常积分，定积分的几何应用。考核要求：理解不定积分和定积分的概念及性质。熟悉不定积分的基本公式，掌握不定积分、定积分的换元法与分部积分法。会求较简单的有理函数的积分。理解积分上限函数的概念及其求导定理，熟悉牛顿（Newton）－莱布尼兹（Leibniz）公式。了解反常积分的概念。掌握用定积分来表达一些几何量（如面积、体积、弧长等）的方法。第四单元向量代数与空间解析几何考核知识点：向量的概念,向量的运算（线性运算、数量积、向量积），向量的模和方向余弦的坐标表达式，平面的方程和直线的方程，常见二次曲面的方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程，两曲面的交线在坐标平面上的投影。考核要求：⑴理解向量的概念。⑵掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），了解两个向量垂直、平行的条件。⑶熟悉单位向量、向量的模和方向余弦的坐标表达式，掌握用坐标表达式——3进行向量运算。⑷熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。⑸理解曲面方程的概念，了解常见二次曲面的方程及其图形。了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。⑹了解空间曲线的参数方程和一般方程。⑺了解两曲面的交线在坐标平面上的投影。第五单元多元函数微分学考核知识点：多元函数的概念，二元函数的极限、连续性，偏导数和全微分，方向导数与梯度，多元复合函数微分法，隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数，曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，二元函数的极值，条件极值的拉格朗日乘数法。考核要求：⑴理解多元函数的概念。⑵了解二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。⑶理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。⑷了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。⑸掌握多元复合函数一阶偏导数的求法，会求多元复合函数的二阶偏导数；⑹会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。⑺了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。⑻理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会用求多元函数极值的方法求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。第六单元多元函数积分学考核知识点：二重积分、三重积分，两类曲线积分，格林（Green）公式，两类曲面积分，高斯（Gauss）公式，散度、旋度，用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量等）。考核要求：⑴理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。⑵掌握二重积分的计算法（直角坐标、极坐标），了解三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。⑶理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质。⑷会计算两类曲线积分。⑸熟悉格林（Green）公式，会应用平面曲线积分与路径无关的条件。⑹了解两类曲面积分的概念并会计算两类曲面积分。⑺了解高斯（Gauss）公式，了解散度、旋度的概念及计算方法。——4⑻会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量和一些较简单的物理量（如体积、曲面面积、弧长、质量、重心等）。第七单元无穷级数考核知识点：无穷级数收敛、发散的概念，无穷级数基本性质，级数收敛的必要条件，正项级数的比较审敛法、根值审敛法和比值审敛法，交错级数的莱布尼兹审敛法，无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，函数项级数的收敛域及和函数，幂级数的收敛域，幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（连续性、逐项求导、逐项求积分），泰勒级数，麦克劳林（Maclaurin）展开式。考核要求：⑴理解无穷级数收敛、发散的概念，了解无穷级数基本性质，理解级数收敛的必要条件。⑵熟悉几何级数和P级数的收敛性。⑶了解正项级数的比较审敛法、根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。⑷掌握交错级数的莱布尼兹审敛法。⑸了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。⑹了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。⑺掌握较简单幂级数的收敛域及和函数的求法。⑻了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。（连续性、逐项求导、逐项求积分）。⑼了解函数展开为泰勒级数的必要条件与充分条件。⑽会用)1ln(,cos,sin,xxxex和)1(x的麦克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单函数展开成幂级数。第八单元常微分方程考核知识点：微分方程的概念，变量可分离的方程，一阶线性方程，齐次方程，伯努利（Bernoulli）方程，全微分方程，可降阶方程()(),(,)nyfxyfxy和),(yyfy的通解求法，线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程，高阶常系数齐次线性微分方程的解法，自由项形如：xBxAAexPaxnsincos,),(和)sincos(xBxAeax的二阶常系数非齐次线性方程的解。考核要求：⑴理解微分方程的概念。理微分方程的解、通解、初始条件和特解等概念。⑵掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。⑶会解齐次方程和伯努利（Bernoulli）方程并从中领会用变量代换求解方程的思想。会解全微分方程。⑷会用降阶法求方程()(),(,)nyfxyfxy和),(yyfy的通解。⑸理解二阶线性微分方程解的结构。⑹掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。——5⑺会求自由项形如：xBxAAexPaxnsincos,),(和)sincos(xBxAeax的二阶常系数非齐次线性方程的解。三、大纲说明1.本考试大纲对概念、理论和计算等的认知度由高到低分四个层次：了解、理解、基本掌握、掌握。2．考试教材：《高等数学》（第六版）同济大学应用数学系主编高等教育出版社3．试题类型：单选题、填空题、计算题、证明题。4．难度等级：试题的难度等级分为基本题、中等难度题、较难或难三个等级，大致比例是40：50：10。5．考试时间：120分钟。6.考生禁用计算器。