第2节-命题及其关系、充分条件与必要条件

INNOVATIVEDESIGN第一章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求2理解充分条件、必要条件与充要条件的含义1理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实1夯实基础回扣知识索引1.命题知识梳理///////用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题，其中____________的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.判断真假判断为真索引2.四种命题及其相互关系知识梳理///////(1)四种命题间的相互关系索引知识梳理///////(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.索引3.充分条件、必要条件与充要条件的概念知识梳理///////若p⇒q，则p是q的条件，q是p的条件p是q的条件p⇒q且qpp是q的条件pq且q⇒pp是q的条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp充分必要充分不必要必要不充分充要索引知识梳理///////1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同.索引知识梳理///////3.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.4.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.索引诊断自测///////1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－30”是命题.()(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.()解析(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.×√√√索引2.设a，b∈R且ab≠0，则ab1是a1b的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件D解析若“ab1”，当a＝－2，b＝－1时，不能得到“a1b”，若“a1b”，例如当a＝1，b＝－1时，不能得到“ab1”，故“ab1”是“a1b”的既不充分也不必要条件.索引3.命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是()A.若α≠π4，则tanα≠1B.若α＝π4，则tanα≠1C.若tanα≠1，则α≠π4D.若tanα≠1，则α＝π4C解析命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠π4”.索引4.(2020·长春模拟)已知命题α：如果x3，那么x5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的()A.否命题B.逆命题C.逆否命题D.否定形式解析两个命题之间只是条件、结论都作出否定，故为否命题关系.A索引5.(2020·天津卷)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由a2＞a，得a2－a＞0，解得a＞1或a＜0，∴“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件.A索引∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以AB，所以m＋13，即m2.6.(2021·合肥七校联考)已知集合A＝{x|133x27，x∈R}，B＝{x|－1xm＋1，m∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________________.(2，＋∞)解析A＝x|133x27，x∈R＝{x|－1x3}.考点分层突破题型剖析考点聚焦2索引考点一命题及其关系///////自主演练1.(2020·太原质检)命题“若ab，则a＋cb＋c”的否命题是()A.若a＋c≤b＋c，则a≤bB.若a≤b，则a＋c≤b＋cC.若a＋cb＋c，则abD.若ab，则a＋c≤b＋c解析将条件和结论都进行否定，即命题“若ab，则a＋cb＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”.B索引2.(2021·成都七中检测)给出下列命题：①“若xy＝1，则lgx＋lgy＝0”的逆命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4D索引解析对于①，“若xy＝1，则lgx＋lgy＝0”的逆命题为“若lgx＋lgy＝0，则xy＝1”，该命题为真命题；对于②，“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“a·b≠a·c，则a不垂直于(b－c)”，由a·b≠a·c可得a·(b－c)≠0，据此可得a不垂直于(b－c)，该命题为真命题；对于③，若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的根的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，原命题为真命题，则其逆否命题为真命题；对于④，“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题.索引3.(2018·北京卷)能说明“若f(x)f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是_______________________.解析根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)min＝f(0).f(x)＝sinx，x∈[0，2](答案不唯一，再如f(x)＝0，x＝0，1x，0x≤2)索引感悟升华1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.索引考点二充分条件与必要条件的判定///////师生共研【例1】(1)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交.由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内.故选B.B索引(2)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p，但綈pD⇒綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件.A索引感悟升华充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.索引∴BA，∴“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.【训练1】(1)(2021·昆明诊断)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≥0}，B＝xx－2x＋1≥0.则“x∈A”是“x∈B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件B解析集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≥0}＝{x|x≥2，或x≤－1}，B＝xx－2x＋1≥0＝{x|x≥2，或x－1}.索引(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，则当k＝2n(n∈Z)，α＝2nπ＋β，有sinα＝sin(2nπ＋β)＝sinβ；当k＝2n＋1(n∈Z)，α＝(2n＋1)π－β，有sinα＝sin[(2n＋1)π－β]＝sinβ.若sinα＝sinβ，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，即α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z).故选C.C索引考点三充分、必要条件的应用///////多维探究【例2】(经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围.解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.综上，m的取值范围是[0，3].∴1－m≥－2，1＋m≤10，解得m≤3.索引【迁移1】本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由.解由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，这样的m不存在.∴1－m＝－2，1＋m＝10，∴m＝3，m＝9，索引【迁移2】设p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.∵綈p是綈q的必要不充分条件，p是q的充分不必要条件.∴p⇒q且qp，即PS.∴1－m≤－2，1＋m10或1－m－2，1＋m≥10，索引∴m≥9，又因为S为非空集合，所以1－m≤1＋m，解得m≥0，综上，实数m的取值范围是[9，＋∞).索引感悟升华1.根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键(1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.2.解题时要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.索引【训练2】设p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.0，12解析p对应的集合A＝{x|y＝ln(2x－1)≤0}＝x|12x≤1，q对应的集合B＝{x|(x－a)[x－(a＋1)]≤0}＝{x|a≤x≤a＋1}.由q是p的必要而不充分条件，知AB.所以a≤12且a＋1≥1，因此0≤a≤12.课后巩固作业3提升能力分层训练12131415070809101101020304050616索引A级基础巩固///////一、选择题1.(2019·天津卷)设x∈R，则“0x5”是“|x－1|1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由|x－1|1可得0x2，由“0x5”不能推出“0x2”，但由“0x2”可以推出“0x5”.故“0x5”是“|x－1|1”的必要而不充分条件.B12131415070809101101020304050616索引2.(2021·百校联考考前冲刺)已知命题p：“任意a