第1节-集合

INNOVATIVEDESIGN第一章第1节集合考纲要求2理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义3理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集4理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集5能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.1了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实1夯实基础回扣知识索引1.元素与集合知识梳理///////(1)集合中元素的三个特性：确定性、、无序性.(2)元素与集合的关系是或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：、、图示法.互异性属于列举法描述法索引2.集合间的基本关系知识梳理///////(1)子集：若对任意x∈A，都有，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则或BA.(3)相等：若A⊆B，且，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何集合的真子集.x∈BABB⊆A非空索引知识梳理///////集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈U，且x∉A}{x|x∈A，且x∈B}3.集合的基本运算索引4.集合的运算性质知识梳理///////(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.索引1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).索引诊断自测///////1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()解析(1)错误.空集只有一个子集.(2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.(3)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性.×××√索引2.若集合P＝{x∈N|x≤2021}，a＝22，则()A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉PD解析因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于2021的自然数构成的集合，所以a∉P，只有D正确.索引3.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R且y＝x}，则A∩B中元素的个数为________.解析集合A表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆上的点的集合，集合B表示直线y＝x上的点的集合，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点，则A∩B中有两个元素.2索引4.(2020·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{x||x|3，x∈Z}，B＝{x||x|1，x∈Z}，则A∩B＝()A.∅B.{－3，－2，2，3}C.{－2，0，2}D.{－2，2}解析集合A＝{x|－3x3，x∈Z}＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|x1或x－1，x∈Z}，只有－2和2符合题意，所以A∩B＝{－2，2}.D索引5.(2020·新高考山东卷)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝()A.{x|2＜x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x＜4}D.{x|1＜x＜4}解析A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2＜x＜4}＝{x|1≤x＜4}.C索引6.(2021·西安五校联考)设全集U＝R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则(∁UA)∩B＝()A.{x|x0}B.{x|0x≤1}C.{x|1x≤2}D.{x|x2}解析易知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y0}.∴∁UA＝{x|x0或x2}，故(∁UA)∩B＝{x|x2}.D考点分层突破题型剖析考点聚焦2索引考点一集合的基本概念///////自主演练1.(2020·东北师大附中模拟)已知集合A＝{x∈Z|－2x≤1}，B⊆A，则集合B中的元素个数最多是()A.1B.2C.3D.4解析A＝{x∈Z|－2x≤1}＝{－1，0，1}，由B⊆A，当B＝A＝{－1，0，1}时，B中元素最多，有3个.C索引2.(2021·百校联盟联考)已知集合A＝{2a－1，a2，0}，B＝{1－a，a－5，9}，且A∩B＝{9}，则a＝()A.±3，5B.3，5C.－3D.5解析易知a2＝9或2a－1＝9，∴a＝±3或a＝5.当a＝3时，则1－a＝a－5＝－2，不满足集合中元素的互异性，舍去.当a＝5时，则A∩B＝{9，0}，与题设条件A∩B＝{9}矛盾，舍去.当a＝－3时，A＝{－7，9，0}，B＝{4，－8，9}，满足A∩B＝{9}，故a＝－3.C索引3.已知集合A＝x|x∈Z，且32－x∈Z，则集合A中的元素个数为()A.2B.3C.4D.5C解析∵32－x∈Z，∴2－x的取值有－3，－1，1，3，又∵x∈Z，∴x值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4，故选C.索引4.设集合A＝{x|(x－a)21}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为________.(1，2]解析由题意得（2－a）21，（3－a）2≥1，解得1a3，a≤2或a≥4.所以1a≤2.索引感悟升华1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.索引考点二集合间的基本关系///////师生共研【例1】(1)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为()A.{－1}B.{1}C.{－1，1}D.{－1，0，1}解析当B＝∅时，a＝0，此时，B⊆A.综上可知，实数a所有取值的集合为{－1，0，1}.D当B≠∅时，则a≠0，∴B＝x|x＝－1a.又B⊆A，∴－1a∈A，∴a＝±1.索引(2)(2020·南阳一模)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}.若B⊆A，则实数m的取值范围为_______________________.解析A＝{x|－1≤x≤6}.∵B⊆A，∴B＝∅或B≠∅.当B＝∅时，m－12m＋1，即m－2.符合题意.当B≠∅时，m－1≤2m＋1，m－1≥－1，2m＋1≤6.(－∞，－2)∪0，52解得0≤m≤52.得m－2或0≤m≤52.索引感悟升华1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.索引【训练1】(1)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则()A.M＝NB.M⊆NC.M∩N＝∅D.N⊆M解析易知M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N⊆M.D索引(2)已知集合A＝{x|log2(x－1)1}，B＝{x||x－a|2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为()A.(1，3)B.[1，3]C.[1，＋∞)D.(－∞，3]解析由log2(x－1)1，得0x－12，所以A＝(1，3).由|x－a|2得a－2xa＋2，所以B＝(a－2，a＋2).所以实数a的取值范围为[1，3].B因为A⊆B，所以a－2≤1，a＋2≥3，解得1≤a≤3.索引考点三集合的运算///////多维探究角度1集合的基本运算【例2】(1)(2020·天津卷)设全集U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－3，0，2，3}，则A∩(∁UB)＝()A.{－3，3}B.{0，2}C.{－1，1}D.{－3，－2，－1，1，3}解析∁UB＝{－2，－1，1}，∴A∩(∁UB)＝{－1，1}.故选C.D索引(2)(2021·西安测试)设全集U＝R，M＝{x|y＝ln(1－x)}，N＝{x|2x(x－2)1}，那么图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x≥1}B.{x|1≤x2}C.{x|0x≤1}D.{x|x≤1}解析图中阴影表示的集合为(∁UM)∩N.易知M＝{x|x1}，N＝{x|0x2}，∴(∁UM)∩N＝{x|1≤x2}.B索引角度2利用集合的运算求参数【例3】(1)(2021·日照检测)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－50}，B＝{x|4x2m}，若A∩B中有三个元素，则实数m的取值范围是()A.[3，6)B.[1，2)C.[2，4)D.(2，4]C解析因为x2－4x－50，解得－1x5，则集合A＝{x∈Z|x2－4x－50}＝{0，1，2，3，4}，易知集合B＝{xxm2}.又因为A∩B中有三个元素，所以1≤m22，解之得2≤m4.故实数m的取值范围是[2，4).索引(2)已知集合A＝{x|y＝4－x2}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为()A.(－∞，－3]∪[2，＋∞)B.[－1，2]C.[－2，1]D.[2，＋∞)C因A∪B＝A，则B⊆A.又B≠∅，所以有a≥－2，a＋1≤2，所以－2≤a≤1.解析集合A＝{x|y＝4－x2}＝{x|－2≤x≤2}，索引感悟升华1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.数形结合思想的应用：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.索引【训练2】(1)设全集为R，集合A＝{x|0x2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝()A.{x|0x≤1}B.{x|0x1}C.{x|1≤x2}D.{x|0x2}解析因为B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x1}，又A＝{x|0x2}，所以A∩(∁RB)＝{x|0x1}.B索引(2)已知集合A＝{x|x2－x≤0}，B＝{x|a－1≤xa}，若A∩B只有一个元素，则a＝()A.0B.1C.2D.1或2解析易知A＝[0，1]，且A∩B只有一个元素，∴a－1＝1，解得a＝2.C索引以集合为背景的创新问题集合的新定义问题，体现了高考命题从能力立意到素养提升的一种命题导向，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等.解答这类问题，关键是理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答.索引【例1】对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝__________________.解析∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，∴A－B＝{x|x3}，B－A＝{x|－3≤x0}.∴A*B＝{x|－3≤x0或x3}.{x|－3≤x0