第3节-函数的奇偶性与周期性

INNOVATIVEDESIGN第二章第3节函数的奇偶性与周期性考纲要求2会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实1夯实基础回扣知识索引知识梳理///////1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数关于对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是奇函数关于对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点索引(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的正周期.2.函数的周期性最小索引1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.索引3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0).(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a0).(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a0).索引4.对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.(3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.索引1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.()诊断自测///////(4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点a＋b2，0对称.()××√√索引解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误.索引2.下列函数中为偶函数的是()A.y＝x2sinxB.y＝x2cosxC.y＝|lnx|D.y＝2－x解析根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项的定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.B索引3.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈0，32时，f(x)＝－x3，则f112＝________.18解析由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以f112＝f－12＝－f12＝123＝18.索引4.(2020·江苏卷改编)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x23，则f(－8)的值是()A.8B.－8C.4D.－4解析f(8)＝823＝4，因为f(x)为奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－4.D索引5.(2021·日照一中月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2022)＝()A.－3B.0C.1D.3解析由于f(x)为奇函数，且f(x)＝f(3－x)，∴f(3＋x)＝f(－x)＝－f(x)，从而知周期T＝6，∴f(2022)＝f(0)＝0.B索引6.(2020·全国大联考)已知f(x)＝ex＋eax是偶函数，则f(x)的最小值为________.解析∵f(x)＝ex＋eax是偶函数，∴f(1)＝f(－1)，得e＋ea＝e－1＋e－a，则a＝－1.当且仅当x＝0时取等号，故函数f(x)的最小值为2.所以f(x)＝ex＋e－x≥2ex·e－x＝2.2考点分层突破题型剖析考点聚焦2索引角度1函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：考点一函数的奇偶性及其应用///////多维探究(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；解由3－x2≥0，x2－3≥0得x2＝3，解得x＝±3，即函数f(x)的定义域为{－3，3}，从而f(x)＝3－x2＋x2－3＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.索引解显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x0时，－x0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x0时，－x0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.(2)f(x)＝x2＋x，x0，－x2＋x，x0；索引解显然函数f(x)的定义域为R，(3)f(x)＝log2(x＋x2＋1).f(－x)＝log2(－x＋（－x）2＋1)＝log2(x2＋1－x)＝log2(x2＋1＋x)－1＝－log2(x2＋1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数.索引感悟升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.索引角度2函数奇偶性的应用【例2】(1)(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)＝－eax，若f(ln2)＝8，则a＝________.解析由题意得，当x0，－x0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－e－ax)＝e－ax，所以f(ln2)＝e－aln2＝eln2－a＝2－a＝8＝23，即2－a＝23，所以a＝－3.－3索引(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集是____________________.解析由图象知，当0x2时，f(x)0；当2x≤5时，f(x)0，又f(x)是奇函数，∴当－2x0时，f(x)0，当－5≤x－2时，f(x)0.综上，f(x)0的解集为(－2，0)∪(2，5].(－2，0)∪(2，5]索引感悟升华1.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.2.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.索引【训练1】(1)(2021·百校联盟质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.y＝xsinxB.y＝xlnxC.y＝ex－1ex＋1D.y＝xln(x2＋1－x)B解析A中，y＝xsinx为偶函数，D中，y＝xln(x2＋1－x)是偶函数.B中，函数y＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数.C中，f(－x)＝e－x－1e－x＋1＝1－ex1＋ex＝－f(x)，则y＝ex－1ex＋1为奇函数.索引(2)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________.解析因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f(x)＝2x－1(x≥0)，则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.－7索引考点二函数的周期性及其应用///////自主演练1.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x0，x，0≤x1，则f32＝________.1解析由题意得，f32＝f－12＝－4×－122＋2＝1.索引解析由f(x－2)＝f(x＋2)，知y＝f(x)的周期T＝4，又f(x)是定义在R上的奇函数，2.(2021·成都质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0，2)时，f(x)＝x2，则f132＝()A.－94B.－14C.14D.94A∴f132＝f8－32＝f－32＝－f32＝－94.索引3.已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A.－50B.0C.2D.50解析法一∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，C索引令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.法二由题意可设f(x)＝2sinπ2x，作出f(x)的部分图象如图所示.由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.索引4.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.解析因为当0≤x2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.7索引感悟升华1.求解与函数的周期有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.索引角度1函数的单调性与奇偶性【例3】(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A.abcB.cbaC.bacD.bca解析(1)易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.又3log25.1220.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，∴g(3)g(log25.1)g(20.8)，则cab.考点三函数性质的综合运用///////多维探究C索引(2)(2020·新高考山东、海南卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A.[－1，1]∪