三角函数与解三角形-专题复习

专题一三角函数与解三角形一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1、弧度制的定义与公式：定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.公式角错误!未找到引用源。的弧度数公式r角度与弧度的换算错误!未找到引用源。①rad1801②错误!未找到引用源。弧长公式扇形面积公式2、任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义第一定义：设错误!未找到引用源。是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则错误!未找到引用源。第二定义：设错误!未找到引用源。是任意角，它的终边上的任意一点P(x,y)，则错误!未找到引用源。.考点1三角函数定义的应用例1.已知角的终边在直线043yx上，则tan4cos5sin5.变式：（1）已知角的终边过点)30sin6,8(mP，且54cos，则m的值为.（2）在直角坐标系中，O是原点，A(3，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．（3）4tan3cos2sin的值（）A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在考点2扇形弧长、面积公式的应用例2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为120，则扇形的弧长为面积为.变式：已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10，则弦AB所对的圆心角的大小为，所在的扇形弧长为，弧所在的弓形的面积S为.二、同角三角函数的基本关系及诱导公式1、1cossin22cossintan2、三角函数的诱导公式角)(2Zkk22正弦余弦正切3、特殊角的三角函数值角030456090120135150180弧度数正弦余弦正切例1.已知是三角形的内角，且.51cossin(1)求tan的值；(2)把22sincos1用tan表示出来，并求其值.变式：1、已知是三角函数的内角，且31tan，求cossin的值.2、已知.34tan（1）求cos2sin5cos4sin的值；（2）求cossin2sin2的值.3.若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝________.考点2利用cossin与cossin关系求值例2.已知关于x的方程0)13(22mxx的两根为cossin和，且20，.(1)求tan1coscossinsin2的值；(2)求m的值；(3)求方程的两根及此时的值.变式（1）已知sinco43s，40，，则sincos的值为（）．A．23B．23C．13D．13（2）已知7(0,),sincos13,则tan．考点3诱导公式的应用例3.（1）)1050sin()1020cos(1290cos)1200sin(.（2）设243943sin,cos(),ctan()51012ab，则（）A．abcB．bcaC．cbaD．cab（3）设)2(sin)23cos(sin1)cos()cos()sin(2)(22f（0sin21），则)623(f.例4.（1）已知是第四象限角，且53)4sin(，则)4tan(.（2）已知33)6tan(，则)65tan(.三、三角函数的图像与性质函数xysinxycosxytan图像定义域值域周期性奇偶性单调增区间单调减区间对称中心对称轴考点1三角函数的定义域、值域例1.（1）函数1sin2xy的定义域为（）A65,6B)(652,62ZkkkC)(652,62ZkkkD)(65,6Zkkk（2）函数29)2lg(sinxxy的定义域为.（3）函数)62sin(3xy在区间2,0上的值域为（）A23,23B3,23C233,233D3,233变式：1.函数)36sin(2xy(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－32.已知函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上的最小值是﹣2，则ω的最小值等于（）A．B．C．2D．33.设函数)sin(215)(xxf，若存在)1,1(0x同时满足以下条件：①对任意的Rx，都有)()(0xfxf成立；②22200[()]xfxm，则m的取值范围是．4.存在实数x，使得关于x的不等式2cossinxax成立，则a的取值范围为．考点2三角函数的单调性例2.（1）已知函数)0(cossin3)(xxxf，)(xfy的图象与直线2y的两个相邻交点的距离等于，则)(xf的单调递增区间是（）A.Zkkk,125,12B.Zkkk,1211,125C.Zkkk,6,3D.Zkkk,32,6（2）函数)32sin(xy的单调递减区间为.（3）已知ω＞0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π单调递减，则ω的取值范围是()A.12，54B.12，34C.0，12D．(0,2]考点3三角函数的奇偶性、周期性、对称性例3.（1）函数1)4(cos22xy是（）A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为2的奇函数D.最小正周期为2的偶函数（2）若函数)3tan(2kxy的最小正周期T满足21T，则自然数k的值为.例4.已知函数)0(1)6sin(xy的最小正周期为32，则)(xf的图象的一条对称轴方程为（）A9xB6xC3xD2x例5.设函数)2,0)(cos()sin(xxy的最小正周期为，且)()(xfxf，则（）A.)(xf在)2,0(内单调递减B.)(xf在)34,4(内单调递减C.)(xf在)2,0(内单调递增D.)(xf在)34,4(内单调递增例6.已知()sin()(0)3fxx，()()63ff，且()fx在区间(,)63有最小()sin()3fxx值，无最大值，则．四、函数)sin(xAy的图象及应用1、)sin(xAy的概念,0)0,0()sin(xAxAy振幅周期频率相位初相2、用五点法画)sin(xAy在一个周期内的简图时，要找出的五个特征点如下表所示xx)sin(xAy3、由xysin的图象得)0,0)(sin(AxAy的图象的两种方法：方法一：方法二：考点1函数)sin(xAy的图象及变换例1.某同学用“五点法”画函数)2,0)(sin()(xAxf在某一个周期内的图象，列表并填入了部分数据，如下表：x02232365)sin(xAy05-50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数)(xf的解析式；(2)将)(xfy图象上所有点向左平移)0(个单位长度，得到)(xfy的图象，若)(xgy图象的一个对称中心为)0,125(,求的最小值.考点2求函数)sin(xAy的解析式例2.函数)sin(xAy的部分图像如图所示，则（）A.)62sin(2xyB.)32sin(2xyC.)6sin(2xyD.)3sin(2xy例3.已知函数)22,0)(sin(3xy的图象关于直线3x，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；（2）当2,0x时，求函数)(xfy的最值.变式：1.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A．[6k﹣1，6k+2]（k∈z）B．[6k﹣4，6k﹣1]（k∈z）C．[3k﹣1，3k+2]（k∈z）D．[3k﹣4，3k﹣1]（k∈z）2.若三角函数f(x)的部分图象如图，则函数f(x)的解析式，以及S＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)的值分别为()A．f(x)＝12sinπx2＋1，S＝2012B．f(x)＝12cosπx2＋1，S＝2012C．f(x)＝12sinπx2＋1，S＝2012.5D．f(x)＝12cosπx2＋1，S＝2012.53.将函数()sin(),(0,)22fxx图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移4个单位长度得到sinyx的图象，则()6f．4.已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π），若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则实数φ=（）A．B．C．D．5.已知函数()sin()(,0)4fxxxR的最小正周期为，为了得到函数()cosgxx的图象，只要将()yfx的图象（）A．向左平移8个单位长度B．向右平移8个单位长度C．向左平移4个单位长度D．向右平移4个单位长度6.设函数()sin(2)6fxx，则下列结论正确的是（）A、()fx的图象关于直线x3对称B、()fx的图象关于点(,0)6对称C、()fx的最小正周期为，且在[0,]12上为增函数D、把()fx的图象向右平移12个单位，得到一个偶函数的图象五、两角和与差的正弦、余弦和正切公式1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式)sin()sin()cos()cos()tan()tan(2、二倍角公式2sin2cos2tan考点1三角函数公式的基本应用例1．（1）)3sin(sin)6sin(cos（）A21B21C23D23（2）已知)6cos()6sin(，则tan()A-1B0C21D1变式：1、已知,2,53sin，则)4sin(22cos=.2、设,2,sin2sin，则2tan的值是.考点2三角函数公式的逆用及变用例2．（1）)110cos()65cos()20cos()65sin(xxxx.（2）已知31cossin，则)4(sin2.（3）在ABC中，若1tantantantanBABA，则Ccos的值为.考点3三角函数公式运用中角的变化例3．（1）若33)24cos(,31)4cos(,02,20，则)2cos(.（2）已知32)2sin(,91)2cos(，且,20,2则)cos(.变式：1、若31)75cos(，则)230cos(.2、设为锐角，若54)6cos(，则)122sin(.六、三角恒等变换1、公式的常见变形sin1sin1cos1cos1cossincossintantantantan222、辅助角公式cossinba考点1三角函数式的化简、求值例1．（1）已知cos22)2cos2(sincossin1,0）（则.（2）化简：)4(sin)4tan(221cos2cos2224xxxx.(3)已知