第07讲-角的存在性《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》

一、相似三角形的性质1.两个三角形相似，对应角相等；2.两个三角形相似，对应边成比例；2.两个三角形相似，对应线之比（高线、角平分线、中线）等于相似比；3.两个三角形相似，周长比等于相似比；4.两个三角形相似，面积比等于相似比的平方.二、一线三等角1.如图1，若∠ACB=∠D=∠E=90°，若AC=BC，即△ACB为等腰直角三角形，则有△ACD≌△CBE；2.如图2，若∠ACB=∠D=∠E=90°，此为一线三直角，也称“K字型”，则有△ACD∽△CBE；3.如图3，若∠ACB=∠D=∠E，此为一般的一线三等角，则有△ACD∽△CBE.图1图2图3一、构造一线三等角1.当出现特殊角度45°时，联想到直角三角形，联想到一线三垂直，如图4有△ACD∽△CBE；图42.当出现特殊角度30°时，联想到直角三角形，联想到一线三垂直，如图5有△ACD∽△CBE；图53.当出现tan=ab时，联想到直角三角形，联想到一线三垂直，如图6有△ACD∽△CBE；二、构造子母型相似∵△BAC∽△BEA∴BA2=BC·BE则BD2+AD2=BC·BE三、整体旋转法如图，已知点3,4A，将点A绕原点O顺时针旋转45°角，求其对应点A`的坐标.解题：722,22A【例题1】如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为．【解析】过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示：则OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∵∠AOB＝∠OBA＝45°，∴OA＝BA，∠OAB＝90°，∴∠OAM+∠BAN＝90°，∴∠AOM＝∠BAN，在△AOM和△BAN中，，∴△AOM≌△BAN（AAS），∴AM＝BN＝，OM＝AN＝，∴OD＝+，BD＝﹣，∴B（+，﹣），∴双曲线y＝（x＞0）同时经过点A和B，∴（+）•（﹣）＝k，整理得：k2﹣2k﹣4＝0，解得：k＝1±（负值舍去），∴k＝1+；故答案为：1+．【例题2】（2018•武汉模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E为边AB上一点，AE＝2，P、Q分别为边AD、BC上的两点，且∠PEQ＝45°，若△EPQ为等腰三角形，则AP的长为．【解析】（1）如图1，当PE＝PQ时，作QF⊥AD，则四边形ABQF是矩形，可得QF＝AB＝6．∵∠A＝∠PFQ＝∠EPQ＝90°，∴∠APE+∠QPF＝90°，∠APE+∠AEP＝90°，∴∠AEP＝∠QPF，∵PE＝PQ，∴△AEP≌△FPQ（AAS），∴AP＝FQ＝6；（2）如图2，当QE＝QP时，作PF⊥BC，则四边形ABFP是矩形，可得PF＝AB＝6，同法可得：△BEQ≌△FQP（AAS），∴BE＝FQ＝4，BQ＝FP＝6，∴AP＝BF＝10；（3）如图3，当EP＝EQ时，作PM⊥PE交EQ的延长线于点M，作MF⊥AD于点F，MF交BC于点H．∵EP＝EQ，BE∥MH，∴，∴，∴．同法可得△AEP≌△FPM（AAS），∴．综合（1）、（2）、（3）可知：AP＝6或AP＝10或．故答案是：6或10或4+2．【例题3】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2,0）．（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是；（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA＝∠ABO，则m的值是．【解析】（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，当x＝2时，y＝﹣2+m＝0，即m＝2，所以直线AB的解析式为y＝﹣x+2，则B（0，2）．∴OB＝OA＝2，AB＝2．设点O到直线AB的距离为d，由S△OAB＝OA2＝AB•d，得4＝2d，则d＝．故答案是：．（2）作OD＝OC＝2，连接CD．则∠PDC＝45°，如图，由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．所以OA＝OB，则∠OBA＝∠OAB＝45°．当m＜0时，∠APC＞∠OBA＝45°，所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．所以m＞0．因为∠CPA＝∠ABO＝45°，所以∠BPA+∠OPC＝∠BAP+∠BPA＝135°，即∠OPC＝∠BAP，则△PCD∽△APB，所以＝，即＝，解得m＝12．故答案是：12．【例题4】如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为．【解析】解法一：如图所示，过A作AE⊥x轴于E，以AE为边在AE的左侧作正方形AEFG，交AB于P，根据点A（2，3）和点B（0，2），可得直线AB的解析式为y＝x+2，由A（2，3），可得OF＝1，当x＝﹣1时，y＝﹣+2＝，即P（﹣1，），∴PF＝，将△AGP绕点A逆时针旋转90°得△AEH，则△ADP≌△ADH，∴PD＝HD，PG＝EH＝，设DE＝x，则DH＝DP＝x+，FD＝1+2﹣x＝3﹣x，Rt△PDF中，PF2+DF2＝PD2，即（）2+（3﹣x）2＝（x+）2，解得x＝1，∴OD＝2﹣1＝1，即D（1，0），根据点A（2，3）和点D（1，0），可得直线AD的解析式为y＝3x﹣3，解方程组，可得或，∴C（﹣1，﹣6），故答案为：（﹣1，﹣6）．解法二：如图，过A作AD⊥y轴于D，将AB绕着点B顺时针旋转90°，得到A'B，过A'作A'H⊥y轴于H，由AB＝BA'，∠ADB＝∠BHA'＝90°，∠BAD＝∠A'BH，可得△ABD≌△BA'H，∴BH＝AD＝2，又∵OB＝2，∴点H与点O重合，点A'在x轴上，∴A'（1，0），又∵等腰Rt△ABA'中，∠BAA'＝45°，而∠BAC＝45°，∴点A'在AC上，由A（2，3），A'（1，0），可得直线AC的解析式为y＝3x﹣3，解方程组，可得或，∴C（﹣1，﹣6），故答案为：（﹣1，﹣6）．解法三：如图，过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E，则△ABF为等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB，设BD＝a，则EF＝a，∵点A（2，3）和点B（0，2），∴DF＝2﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，∵AE+OD＝3，∴2﹣a+2﹣a＝3，解得a＝，∴F（，），设直线AF的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴y＝3x﹣3，解方程组，可得或，∴C（﹣1，﹣6），故答案为：（﹣1，﹣6）．【例题5】如图1，平面直角坐标系中，直线y＝x+1与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为，点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（不与点A，B重合），作PC⊥AB于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示PC的长；②求PC长的最大值；（3）如图2，连接PA，若∠PAB＝45°，求点P的坐标．【解析】（1）将x＝0代入y＝x+1得：y＝1，∴A（0，1）．将x＝代入y＝x+1得：y＝，∴B（，），把A、B两点坐标代入y＝﹣x2+bx+c得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+1；（2）如图1，作PF⊥x轴于F，交AB于E，直线AB交x轴于D．把y＝0代入y＝x+1得：x+1＝0，解得x＝﹣2，∴D（﹣2，0）．设P（m，﹣m2+4m+1），则E（m，m+1），∵点P在直线AB上方，∴PE＝﹣m2+4m+1﹣（m+1）＝﹣m2+m，∵OA＝1，OD＝2，AD＝，∵PF∥OA，∴∠DAO＝∠DEF＝∠PEC，∵∠AOD＝∠PCE＝90°，∴△PCE∽△DOA，∴＝，即＝∴PC＝﹣（m2﹣m），∵PC＝﹣（m2﹣m）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴m＝时，PC有最大值，最大值为；（3）如图2所示，过点A作AC∥x轴，交抛物线与点C，作CD∥y轴交AB与点D，将△ACD旋转90°得到△AEF，延长EF交AP与点G，连结GD．将y＝1代入抛物线的解析式得：﹣x2+4x+1＝1，解得：x＝0或x＝4．∴点C的坐标为（4，1）．将x＝4代入直线AB的解析式得：y＝3，∴点D的坐标为（4，3）．由旋转的性质可知：AF＝AC＝4，EF＝DC＝2，AE＝AD．∴点E的坐标为（﹣2，5）．在△AEG和△ADG中，∴△AEG≌△ADG．∴EG＝DG．设点D的坐标为（x，y），由两点间的距离公式可知：（x+2）2+（y﹣5）2＝（x﹣4）2+（y﹣3）2，整理得：y＝3x+1．∴直线AG的解析式为y＝3x+1．将y＝3x+1代入y＝﹣x2+4x+1得：3x+1＝﹣x2+4x+1，整理得：x2﹣x＝0，解得：x＝0或x＝1．∴点P的横坐标为1．将x＝1代入y＝3x+1得：y＝4．∴点P的坐标为（1，4）．1．（2018•龙岗区一模）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4），在该图象上面找一点P，使∠POA＝45°，则点P的坐标为．【解析】作AE⊥y轴于E，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，作A′F⊥x轴于F，则△AOE≌△A′OF，可得OF＝OE＝4，A′F＝AE＝3，即A′（4，﹣3）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4），所以由勾股定理可知：OA＝5，∴4＝，OA＝5，∴k＝12，∴y＝，∴AA′的中点K（，），∴直线OK的解析式为y＝x，由，解得或，∵点P在第一象限，∴P（2，），故答案为（2，）．2．（2017•孝感）如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为．【解析】作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，过B点作BC⊥y轴于C，交AE于G，如图所示：则AG⊥BC，∵∠OAB＝90°，∴∠OAE+∠BAG＝90°，∵∠OAE+∠AOE＝90°，∴∠AOE＝∠GAB，在△AOE和△BAG中，，∴△AOE≌△BAG（AAS），∴OE＝AG，AE＝BG，∵点A（n，1），∴AG＝OE＝n，BG＝AE＝1，∴B（n+1，1﹣n），∴k＝n×1＝（n+1）（1﹣n），整理得：n2+n﹣1＝0，解得：n＝（负值舍去），∴n＝，∴k＝；故答案为：．3．（2017•新区一模）（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE＝CD；（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长．（3）如图3，四边形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝，CD＝5，AD＝12，求BD的长．【解析】（1）如图1，分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BD，再分别以A、C为圆心，以AC为半径画弧，交于点E，连接AE、CE，则△ABD、△ACE就是所求作的等边三角形；证明：如图1，∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE＝CD；（2）如图2，过A作AE⊥AD，使AD＝AE＝3，连接DE、CE，由勾股定理得：DE＝＝3，∴∠EDA＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠EDC＝∠EDA+∠ADC＝90°，∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠CAB＝90°，∴∠CAB+∠DAC＝∠EAD+∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴EC＝BD，在Rt△DCE中，EC＝＝＝，∴BD＝EC＝；（3）如图3，作直角三角形DAE，使得∠DAE＝90°，∠DEA＝∠ACB，连接EC，容易得到△DAE∽△BAC，∴，即，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAE+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，∴△EAC∽△DAB，∴，在△DCE中，∠ADC＝∠ACB，∠EDA＝∠ABC，∴∠E