2016年山东省高考理科数学试卷解析版

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学解析本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号．答案卸载试卷上无效．3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z满足i－zz232=+，其中i为虚数为单位，则=z（A）i21+（B）i－21（C）i－21+（D）i－－21【解析】设)∈,(,+=Rbabiaz，则i－biaabiazzzzz23322=+=++=)+(+=+，所以21－ba=,=，故选（B）（2）已知集合{}{}0122=,∈,==A－xxBRxyyx，则=BA（A）),(11－（B）),(10（C）)+∞,(1－（D）)+,(∞0【解析】由题意），（），（11=,∞+0=A－B，所以=BA)+∞,(1－，故选（C）（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A）56（B）60（C）120（D）140【解析】由图可知组距为2.5，每周的自习时间少于22.5小时的频率为0.30=2.5×)0.1+0.02(所以，每周自习时间不少于22.5小时的人数是140=0.301×200）（－人，故选D．（4）若变量yx,满足09322xyxyx，则22yx+的最大值是（A）4（B）9（C）10（D）12【解析】由22yx+是点),(yx到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点),(),,(),,(133020，所以),(13是最优解，22yx+的最大值是10，故选C（5）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（A）π32+31（B）π32+31（C）π62+31（D）π62+1自习时间/小时频率/组距0.020.040.080.100.16o17.522.5202527.530111【解析】由三视图可知,半球的体积为π62,四棱锥的体积为31,所以该几何体的体积为π62+31，故选C．（6）已知直线ba,分别在两个不同的平面βα、内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面α相交”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【解析】由直线a和直线b相交，可知平面βα、有公共点，所以平面α和平面β相交．又如果平面α和平面β相交，直线a和直线b不一定相交．故选A．（7）函数)sincos)(cos+sin(=)(xx－xxxf33的最小正周期是（A）2π（B）π（C）2π3（D）π2【解析】由）（33π+2sin2=2cos+cossin2=)(xxxxxf所以，最小正周期是π，故选B（8）已知非零向量nm,满足313=,cos,=4nmnm，若)+(⊥ntmn则实数t的值为（A）4（B）—4（C）49（D）—49【解析】因为241nnmnmnm=,cos•=，由)+(⊥ntmn，有02=+=)+(ntmnntmn，即0142=)+(nt，所以=t—4，故选B（9）已知函数)(xf的定义域为R，当0x时，1－xxf3=)(；当11≤≤x－时，)(—=)(xf－xf；当21x时，)(=)+(2121x－fxf，则=)(6f（A）—2（B）—1（C）0（D）2【解析】由)(=)+(2121x－fxf，知当21x时，)(xf的周期为1，所以)(=)(16ff．又当11≤≤x－时，)x(f)x(f，所以)(—=)(11－ff．于是2111163])[()()()(fff．故选D．（10）若函数)(=xfy的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称)(=xfy具有T性质．下列函数具有T性质的是（A）xysin=（B）xyln=（C）xey=（D）3xy=【解析】因为函数xyln=，xey=的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3xy=的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直,即不具有T性质．故选A．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）执行右边的程序框图，若输入的的值分别为0和9，则输出i的值为【解析】1=i时，执行循环体后81=,=ba，ba不成立；2=i时，执行循环体后63=,=ba，ba不成立；3=i时，执行循环体后36=,=ba，ba成立；所以3=i，故填3.（12）若5)+xax1（2的展开式中5x的系数是80－，则实数=a开始结束输入a，b输出ii=1i=i+1a=a+i,b=b-iab是否【解析】由553252322580C)1Cx－xaxax（）（，得2－a=，所以应填2－．（13）已知双曲线),(=:0012222baby－axE，若矩形ABCD的四个顶点在E上，CDAB,的中点为E的两个焦点，且BC3=AB2，则E的离心率为【解析】由题意c2=BC，所以3c=AB，于是点),23（cc在双曲线E上，代入方程，得1492222=bc－ac，在由2cba=+22得E的离心率为2==ace，应填2.（14）在],[11－上随机的取一个数k，则事件“直线kxy=与圆9522=+)(yx－相交”发生的概率为【解析】首先k的取值空间的长度为2，由直线kxy=与圆9522=+)(yx－相交，得事件发生时k的取值空间为]43,43[－，其长度为23，所以所求概率为43=223，应填43．（15）在已知函数=)(xf，其中0m，若存在实数b，使得关于x的方程bxf=)(有三个不同的根，则m的取值范围是【解析】因为mmx－xxg422)(的对称轴为mx=，所以mx时mmx－xxf422+=)(单调递增，只要b大于mmx－xxg422+=)(的最小值24mm—时，关于x的方程bxf=)(在mx时有一根；又xxh=)(在mx≤，0m时，存在实数b，使方程bxf=)(在mx≤时有两个根，只需mb≤0；故只需mmm—24即可，解之，注意0m，得3m，故填），（∞+3．三、解答题：本答题共6小题，共75分．（16）（本小题满分12分）在ABC中，角CB,A,的对边分别为a,b,c，已知cosAtanB+cosBtanA=tanB)+2(tanA(Ⅰ)证明：cba2=+；（Ⅱ）求Ccos的最小值．【解析】(Ⅰ)由cosAtanB+cosBtanA=tanB)+2(tanA得cosAcosBsinBcosAcosBsinAcosAcosBsinC2，所以CBCsinsinsin2，由正弦定理，得cba2=+．（Ⅱ）由abcabbaabcbaC22222222)(cos211231223123222)(bacabc．所以Ccos的最小值为21．（17）（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．(Ⅰ)已知HG,分别为FBEC,的中点，求证：GH//平面ABC；(Ⅱ)已知BC=AB,32=AC21=FB=EF，求二面角A-BC-F的余弦值．【解析】(Ⅰ)连结FC，取FC的中点M，连结HMGM,，因为GM//EF，EF在上底面内，GM不在上底面内，所以GM//上底面，所以GM//平面ABC；又因为MH//BC，BC平面ABC，MH平面ABC，EFBACGH所以MH//平面ABC；所以平面GHM//平面ABC，由GH平面GHM，所以GH//平面ABC．(Ⅱ)连结OB，BCABOBAO以为O原点，分别以OOOB,OA,为zy,x,轴，建立空间直角坐标系．BCAB,32AC21FBEF，3)(22FOBOBFOO，于是有)0,0,3A(2，)0,0,3C(-2，)0,3B(0,2，)3,3F(0,，可得平面FBC中的向量)3,(30,-BF，)0,,(3232CB,于是得平面FBC的一个法向量为)1,3,3(1n，又平面ABC的一个法向量为)1,0,0(2n，设二面角A-BC-F为，则7771cos2121nnnn．二面角A-BC-F的余弦值为77．（18）（本小题满分12分）已知数列na的前n项和nnSn832，nb是等差数列，且1nnnbba．(Ⅰ)求数列nb的通项公式；(Ⅱ)令nnnnnbac)2()1(1．求数列nc的前n项和nT．【解析】(Ⅰ)因为数列na的前n项和nnSn832，所以111a，当2n时，56)1(8)1(383221nnnnnSSannn，EFBACO，Oxyz又56nan对1n也成立，所以56nan．又因为nb是等差数列，设公差为d，则dbbbannnn21．当1n时，db1121；当2n时，db1722，解得3d，所以数列nb的通项公式为132ndabnn．(Ⅱ)由1112)33()33()66()2()1(nnnnnnnnnnnbac，于是14322)33(2122926nnnT，两边同乘以２，得21432)33(2)3(29262nnnnnT，两式相减，得214322)33(23232326nnnnT2222)33(21)21(2323nnn222232)33()21(2312nnnnnnT．（19）（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是43，乙每轮猜对的概率是32；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(Ⅰ)“星队”至少猜对3个成语的概率；(Ⅱ)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX．【解析】(Ⅰ)“至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．设“至少猜对3个成语”为事件A；“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件CB,，则1253232414331324343)(1212CCBP；4132324343)(CP．所以3241125)()()(CPBPAP．(Ⅱ)“星队”两轮得分之和X的所有可能取值为0,1,2,3,4,6于是144131413141)0(XP；725144103143314131413241)1(1212CCXP；14425313243413131434332324141)2(12CXP；1211441231413243