2016年山东高考数学文科卷解析

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学解析戴又发本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号．答案卸载试卷上无效．3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）设集合{}{}3,4,5=,1,3,5=A,6},{1,2,3,4,5=UB，则=)(BACU（A）}6,2{（B）}6,3{（C）}5,4,3,1{（D）}6,4,2,1{【解析】由题意}5,4,3,1{=AB，所以=)(BACU}6,2{，故选（A）（2）若复数－iz12=，其中i为虚数为单位，则=z（A）i+1（B）－i1（C）i－+1（D）－i－1【解析】因为i－iz+1=12=，所以=z－i1，故选（B）（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A）56（B）60（C）120（D）140【解析】由图可知组距为2.5，每周的自习时间少于22.5小时的频率为0.30=2.5×)0.1+0.02(所以，每周自习时间不少于22.5小时的人数是140=0.301×200）（－人，故选（D）．（4）若变量yx,满足09322xyxyx，则22yx+的最大值是（A）4（B）9（C）10（D）12【解析】由22yx+是点),(yx到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点),(),,(),,(133020，所以),(13是最优解，22yx+的最大值是10，故选C（5）一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（A）π32+31（B）π32+31（C）π62+31（D）π62+1o111【解析】由三视图可知,半球的体积为π62,四棱锥的体积为31,所以该几何体的体积为π62+31，故选C．（6）已知直线ba,分别在两个不同的平面βα、内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面α相交”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【解析】由直线a和直线b相交，可知平面βα、有公共点，所以平面α和平面β相交．又如果平面α和平面β相交，直线a和直线b不一定相交．故选（A）．（7）已知圆)0(0=2+:M22aay－yx截直线0=+yx所得线段长度是22，则圆M与1=)1(+)1(:22y－x－N的位置关系是（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离【解析】由圆0=2+:M22ay－yx的圆心坐标为），（aM0，半径为a，M到直线0=+yx所得距离为2=ad，由2222=－da，得2=a，又圆1=)1(+)1(:22y－x－N的圆心），（11N，半径为1，由2=MN，1+2212－，可知圆M与圆N与相交，故选（B）．（8）ABC中，角CB,A,的对边分别为a,b,c，已知)sin1(2=,=22A－bacb，则=A（A）43π（B）3π（C）4π（D）6π【解析】由余弦定理，得Abc－cbacos2+=222，又)sin1(2=,=22A－bacb，所以有)sin1(2=cos22222A－bAb－b，即AAsin=cos，4=πA，故选（C）．（9）已知函数)(xf的定义域为R，当0x时，1－xxf3=)(；当11≤≤x－时，)(—=)(xf－xf；当21x时，)(=)+(2121x－fxf，则=)(6f（A）—2（B）—1（C）0（D）2【解析】由)(=)+(2121x－fxf，知当21x时，)(xf的周期为1，所以)(=)(16ff．又当11≤≤x－时，)x(f)x(f，所以)(—=)(11－ff．于是2111163])[()()()(fff．故选（D）．（10）若函数)(=xfy的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称)(=xfy具有T性质．下列函数具有T性质的是（A）xysin=（B）xyln=（C）xey=（D）3xy=【解析】因为函数xyln=，xey=的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3xy=的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直,即不具有T性质．故选（A）．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）执行右边的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为【解析】1=i时，执行循环体后－12=S，3≥i不成立；2=i时，执行循环体后2－－3+12=S，3≥i不成立；3=i时，执行循环体后3－2－－4+3+12=S，3≥i成立，退出循环；i≥n所以输出1=12=4+3+12=S－3－2－－，故填1.（12）观察下列等式：2×1×34=)32(sin+)3(sin22－－ππ；3×2×34=)54(sin+)53(sin+)52(sin+)5(sin2222－－－－ππππ；4×3×34=)76(sin++)73(sin+)72(sin+)7(sin2222－－－－ππππ；5×4×34=)98(sin+)93(sin+)92(sin+)9(sin2222－－－－ππππ；……照此规律，=)1+22(sin+)1+23(sin+)1+22(sin+)1+2(sin2222－－－－nπnnπnπnπ．【解析】显然34在各式中均保留；第一式乘以2×1，第二式乘以3×2，第三式乘以4×3，…，第n式应乘以)1+(×nn，所以应填)1+(××34nn．（13）已知向量)4,6(=),1,1(=－b－a．若)+(btaa⊥，则实数t的值为【解析】因为10=4+6=·ba，2=2a，由)+(btaa⊥，得0=)+(•btaa，即0=+2abta，0=10+2t，所以实数t的值为－5，应填－5．（14）已知双曲线),(=:0012222baby－axE，矩形ABCD的四个顶点在E上，CDAB,的中点为E的两个焦点，且BC3=AB2，则E的离心率为【解析】由题意c2=BC，所以3c=AB，于是点),23（cc在双曲线E上，代入方程，得1492222=bc－ac，在由2cba=+22得E的离心率为2==ace，应填2.（15）在已知函数=)(xf，其中0m，若存在实数b，使得关于x的方程bxf=)(有三个不同的根，则m的取值范围是【解析】因为mmx－xxg422)(的对称轴为mx=，所以mx时mmx－xxf422+=)(单调递增，只要b大于mmx－xxg422+=)(的最小值24mm—时，关于x的方程bxf=)(在mx时有一根；又xxh=)(在mx≤，0m时，存在实数b，使方程bxf=)(在mx≤时有两个根，只需mb≤0；故只需mmm—24即可，解之，注意0m，得3m，故填），（∞+3．三、解答题：本答题共6小题，共75分．（16）（本小题满分12分）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．若两次记录的数分别为yx,．奖励规则如下：①若3≤xy，则奖励玩具一个；②若8≥xy，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假定转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(Ⅰ)求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．【解析】(Ⅰ)由于每次获得各区域数的概率相等，两次结果互相独立．将两次转的结果列表如下：yx1234112342246833691212344481216共可转出16种不同结果．其中满足3≤xy的共有５种，所以小亮获得玩具的概率为165；（Ⅱ）满足8≥xy的共有６种，所以小亮获得水杯的概率为83=166；由165=1661651－－知小亮获得饮料的概率为165．所以，小亮获得水杯的概率比获得饮料的概率大．（17）（本小题满分12分）设2)cos(sinsinsin32=)(xx－x－－xπxf）（．(Ⅰ)求)(xf的单调递增区间；(Ⅱ)把)(=xfy的图象上所有点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不变），再把所得的图象向左平移3π个单位，得到)(=xgy的图象，求)6(πg的值．【解析】(Ⅰ)因为2)cos(sinsinsin32=)(xx－x－－xπxf）（12sin+sin32=2x－x13+2cos32sin=－xx－13+32sin2=－πx－）（．)(xf的单调递增区间因满足)∈(,2+2≤32≤2+2Zkπkππx－πkπ－即πkπxπkπ－2+6522+6≤≤，πkπxπkπ－+125+12≤≤，所以)(xf的单调递增区间为]+125+12[πkππkπ－，，)(Zk∈．(Ⅱ)把)(=xfy的图象上所有点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不变），得到13+3sin2－πx－）（，再把所得的图象向左平移3π个单位，得到13+sin2=)(=－xxgy，所以3=13+21×2=)6(－πg的值．ＡＢＥＦＧＨ（18）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF//DB．(Ⅰ)已知EC=AEBC,=AB．求证：FB⊥AC；(Ⅱ)已知HG,分别是EC和FB的中点．求证：//GH平面ABC．【解析】(Ⅰ)因为EF//DB，所以BDEF在一个平面内，又EC=AEBC,=AB，D是AC的中点，所以EDACBD,AC⊥⊥，⊂BD平面BDEF，⊂ED平面BDEF，E=EDBD，所以⊥AC平面BDEF，而⊂FB平面BDEF，所以FB⊥AC．(Ⅱ)连结ED，取ED的中点为M，连结HMGM,，则HM//BDGM//AC,，⊂GM平面GHM，⊂HM平面GHM，⊂AC平面ABC，⊂BD平面ABC，M=HMGM，所以平面GHM//平面ABC．又⊂GH平面GHM，所以//GH平面ABC．（19）（本小题满分12分）已知数列na的前n项和nnSn832，nb是等差数列，且1nnnbba．(Ⅰ)求数列nb的通项公式；(Ⅱ)令nnnnnbac)2()1(1．求数列nc的前n项和nT．【解析】(Ⅰ)因为数列na的前n项和nnSn832，所以111a，当2n时，56)1(8)1(383221nnnnnSSannn，又56nan对1n也成立，所以56nan．又因为nb是等差数列，设公差为d，则dbbbannnn21．当1n时，db1121；当2n时，db1722，解得3d，所以数列nb的通项公式为132ndabnn．(Ⅱ)由1112)33()33()66()2()1(nnnnnnnnnnnbac，于是14322)33(2122926nnnT，两边同乘以２，得21432)33(2)3(29262nnnnnT，两式相减，得214322)33(23232326nnn