2018年全国高考新课标3卷文科数学试题(解析版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标3卷文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。学@科网一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x-1≥0}，B={0,1,2}，则A∩B=()A．{0}B．{1}C．{1,2}D．{0,1,2}解析：选C2．(1+i)(2-i)=()A．-3-iB．-3+iC．3-iD．3+i解析：选D3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析：选A4．若sinα=13，则cos2α=()A．89B．79C．-79D．-89解析：选Bcos2α=1-2sin2α=1-19=895．若某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为()A．B．0.4C．D．解析：选B不用现金支付的概率P=1-+=6．函数f(x)=tanx1+tan2x的最小正周期为()A．π4B．π2C．πD．2π解析：选Cf(x)=tanx1+tan2x=12sin2x7．下列函数中，其图像与函数y=lnx的图像关于直线x=1对称的是()A．y=ln(1-x)B．y=ln(2-x)C．y=ln(1+x)D．y=ln(2+x)解析：选BM(x,y)在y=lnx图象上，则N(2-x,y)在y=lnx关于x=1对称的函数图象上。8．直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆(x-2)2+y2=2上，则ΔABP面积的取值范围是()A．[2,6]B．[4,8]C．[2,32]D．[22,32]解析：选A，线心距d=22,P到直线的最大距离为32，最小距离为2，|AB|=22,Smin=2,Smax=69．函数y=-x4+x2+2的图像大致为()解析：选D原函数为偶函数，设t=x2，t≥0，f(t)=-t2+t+2,故选D10．已知双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A．2B．2C．322D．22解析：选Dc2=2a2,则b=a，渐近线方程为x+y=0,由点到直线距离公式得d=2211．ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ΔABC的面积为a2+b2-c24，则C=()A．π2B．π3C．π4D．π6解析：选Ca2+b2-c2=2abcosC,S=12absinC=a2+b2-c24=12abcosCtanC=112．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ΔABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．543解析：选B，ΔABC的边长为a=6,ΔABC的高为33，球心O到ΔABC的距离=42-(23)2=2,当D到ΔABC的距离为R+2=6时，D-ABC体积的最大，最大值=13×93×6=183二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a=(1,2)，b=(2,-2)，c=(1,λ)．若c//(2a+b)，则λ=________．解析：2a+b=(4,2),c//(2a+b)则4λ=2，λ=1214．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．解析：分层抽样15．若变量x，y满足约束条件2x+y+3≥0x-2y+4≥0x-2≤0,则z=x+13y的最大值是________．解析：316．已知函数f(x)=ln(1-x2-x)+1，f(a)=4，则f(-a)=________．解析：设g(x)=ln(1-x2-x),g(x)为奇函数，f(a)=g(a)+1,f(-a)=g(-a)+1,相加可得f(-a)=-2三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．学科&网（一）必考题：共60分．17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{an}的通项公式；（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．解：（1）设{an}的公比为q，由已知得q4=4q2，解得q=0（舍去），q=-2或q=2．故an=(-2)n-1或an=2n-1．（2）若an=(-2)n-1，则Sm=1-(-2)m3．由Sm=63得(-2)m=-188，此方程没有正整数解．若an=2n-1，则Sm=2n-1．由Sm=63得2m=64，解得m=6．综上，m=6．18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d)，临界值表：P(K2≥k0)k0解：（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．※以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（2）由茎叶图知m=79+812=80．列联表如下：超过80不超过80第一种生产方式155第二种生产方式515（3）由于K2=40(15×15-5×5)220×20×20×20=10，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．19．（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD⌢所在平面垂直，M是CD⌢上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC//平面PBD说明理由．解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C:x24＋y23＝1交于A，B两点．线段AB的中点为M(1,m)(m0)．（1）证明：k-12；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP→+FA→+FB→=0．证明：2|FP→|=|FA→|+|FB→|．解：（1）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x124＋y123＝1，x224＋y223＝1．两式相减，并由k=y1-y2x1-x2得x1+x24+y1+y23k=0由题设知x1+x22=1，y1+y22=m，于是k=-34m．①由题设得0m32，故k-12．（2）由题意得F(1,0)，设P(x3,y3)，则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0)由（1）及题设得x3=3-(x1+x2)=1，y3=-(y1+y2)=-2m0．又点P在C上，所以m=34，从而P(1,-32)，|FP→|=32．于是|FA→|=(x1-1)2+y12=(x1-1)2+3(1-x124)=2-x12同理|FB→|=2-x22．所以|FA→|+|FB→|=3．故2|FP→|=|FA→|+|FB→|，21．（12分）已知函数f(x)=ax2+x-1ex．（1）求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程；（2）证明：当a≥1时，f(x)+e≥0．解：（1）f′(x)=-ax2+(2a-1)x+2ex，f′(0)=2，．因此曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0．（2）当a≥1时，f(x)+e=ax2+x-1ex+e=ax2+x-1+ex+1ex≥x2+x-1+ex+1ex．令g(x)=x2+x-1+ex+1,，则g′(x)=2x+1+ex+1．且，g′(-1)=0当x-1时，g′(x)0，g(x)单调递减；当x-1时，g′(x)0，g(x)单调递增；所以g(x)≥g(-1)=0．因此f(x)+e≥0．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x=cosθy=sinθ（θ为参数），过点(0,-2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．解：（1）⊙O的直角坐标方程为x2+y2=1．当α=π2时，l与⊙O交于两点．当α=π2时，记tanα=k，则l的方程为y=kx-2．l与⊙O交于两点当且仅当|21+k2|1，解得k-1或k1，即α∈(π4,π2)或α∈(π2,3π4)．综上，α的取值范围是(π4,3π4)．（2）l的参数方程为x=tcosαy=-2+tsinα(t为参数，π4α3π4)．设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP=tA+tB2，且tA，tB满足t2-22tsinα+1=0．于是tA+tB=22sinα，tP=2sinα．又点P的坐标(x,y)满足x=tPcosαy=-2+tPsinα所以点P的轨迹的参数方程是x=22sin2αy=-22-22cos2α(t为参数，π4α3π4)23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|．（1）画出y=f(x)的图像；（2）当x∈[0,+∞)，f(x)≤ax+b，求a+b的最小值．23．解：（1）f(x)=-3xx-12x+2-12≤x13xx≥1y=f(x)的图像如图所示．（2）由（1）知，y=f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故