2020年全国统一高考数学解析试卷(文科)(全国3卷)

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合{1A，2，3，5，7，11}，{|315}Bxx，则AB中元素的个数为()A．2B．3C．4D．52．若(1)1zii，则(z)A．1iB．1iC．iD．i3．设一组样本数据1x，2x，，nx的方差为0.01，则数据110x，210x，，10nx的方差为()A．0.01B．0.1C．1D．104．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()(Itt的单位：天）的Logistic模型：0.23(53)()1tKIte，其中K为最大确诊病例数．当*()0.95ItK时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为()(193)lnA．60B．63C．66D．695．已知sinsin()13，则sin()(6)A．12B．33C．23D．226．在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若1ACBC，则点C的轨迹为()A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线7．设O为坐标原点，直线2x与抛物线2:2(0)Cypxp交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为()A．1(4，0)B．1(2，0)C．(1,0)D．(2,0)8．点(0,1)到直线(1)ykx距离的最大值为()A．1B．2C．3D．29．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A．642B．442C．623D．42310．设3log2a，5log3b，23c，则()A．acbB．abcC．bcaD．cab11．在ABC中，2cos3C，4AC，3BC，则tan(B)A．5B．25C．45D．8512．已知函数1()sinsinfxxx，则()A．()fx的最小值为2B．()fx的图象关于y轴对称C．()fx的图象关于直线x对称D．()fx的图象关于直线2x对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x，y满足约束条件0201xyxyx，，，……„则32zxy的最大值为．14．设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线为2yx，则C的离心率为．15．设函数()xefxxa，若f（1）4e，则a．16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）设等比数列{}na满足124aa，318aa．（1）求{}na的通项公式；（2）记nS为数列3{log}na的前n项和．若13mmmSSS，求m．18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）:空气质量等级锻炼人次[0，200](200，400](400，600]1（优)216252（良)510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400„人次400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()nadbcKabcdacbd2()PKk…0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如图，在长方体1111ABCDABCD中，点E，F分别在棱1DD，1BB上，且12DEED，12BFFB．证明：（1）当ABBC时，EFAC；（2）点1C在平面AEF内．20．（12分）已知函数32()fxxkxk．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有三个零点，求k的取值范围．21．（12分）已知椭圆222:1(05)25xyCmm的离心率为154，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线6x上，且||||BPBQ，BPBQ，求APQ的面积．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为222,(23xtttytt为参数且1)t，C与坐标轴交于A，B两点．（1）求||AB；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a，b，cR，0abc，1abc．（1）证明：0abbcca；（2）用{maxa，b，}c表示a，b，c的最大值，证明：{maxa，b，3}4c…．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合{1A，2，3，5，7，11}，{|315}Bxx，则AB中元素的个数为()A．2B．3C．4D．5【思路分析】求出集合A，B，由此能求出AB，进而能求出AB中元素的个数．【解析】：集合{1A，2，3，5，7，11}，{|315)Bxx，{5AB，7，11}，AB中元素的个数为3．故选：B．【总结与归纳】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．若(1)1zii，则(z)A．1iB．1iC．iD．i【思路分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解析】：由(1)1zii，得21(1)1(1)(1)iiziiii，zi．故选：D．【总结与归纳】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．设一组样本数据1x，2x，，nx的方差为0.01，则数据110x，210x，，10nx的方差为()A．0.01B．0.1C．1D．10【思路分析】根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，求出新数据的方差即可．【解析】：样本数据1x，2x，，nx的方差为0.01，根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，数据110x，210x，，10nx的方差为：1000.011，故选：C．【总结与归纳】本题考查了方差的性质，掌握根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长是解题的关键，本题属于基础题．4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()(Itt的单位：天）的Logistic模型：0.23(53)()1tKIte，其中K为最大确诊病例数．当*()0.95ItK时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为()(193)lnA．60B．63C．66D．69【思路分析】根据所给材料的公式列出方程0.23(53)0.951tKKe，解出t即可．【解析】：由已知可得0.23(53)0.951tKKe，解得0.23(53)119te，两边取对数有0.23(53)19tln，解得66t，故选：C．【总结与归纳】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题5．已知sinsin()13，则sin()(6)A．12B．33C．23D．22【思路分析】利用两角和差的三角公式，进行转化，利用辅助角公式进行化简即可．【解析】：法一：（通解）sinsin()13，13sinsincos122，即33sincos122，得133(cossin)122，即3sin()16，得3sin()63故选：B．法二：（巧解）（四川代尔宁补解）sinsin()sin()sin()2sin()cos13666666所以3sin()63【总结与归纳】本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用两角和差的三角公式以及辅助角公式进行转化是解决本题的关键．难度不大，本题方法二角的拆分将角度直接转化为6的三角函数值计算问题.．6．在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若1ACBC，则点C的轨迹为()A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线【思路分析】设出A、B、C的坐标，利用已知条件，转化求解C的轨迹方程，推出结果即可．【解析】：在平面内，A，B是两个定点，C是动点，不妨设(,0)Aa，(,0)Ba，设(,)Cxy，因为1ACBC，所以(xa，)(yxa，)1y，解得2221xya，所以点C的轨迹为圆．故选：A．【总结与归纳】本题考查轨迹方程的求法，向量的数量积的应用，考查计算能力．7．设O为坐标原点，直线2x与抛物线2:2(0)Cypxp交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为()A．1(4，0)B．1(2，0)C．(1,0)D．(2,0)【思路分析】利用已知条件转化求解E、D坐标，通过1ODOEkk，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．【解析】：法一：（通解）将2x代入抛物线22ypx，可得2yp，ODOE，可得1ODOEkk，即22122pp，解得1p，所以抛物线方程为：22yx，它的焦点坐标1(2，0)．故选：B．法二：（光速解）（四川代尔宁补解）抛物线过顶点O垂直的两条弦ODOE，则DE直线过定点(2,0)p，则可知221pp，所以焦点坐标为1(,0)2【总结与归纳】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8．点(0,1)到直线(1)ykx距离的最大值为()A．1B．2C．3D．2【思路分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论．【解析】：法一：（通解）因为点(0,1)到直线(1)ykx距离2222|1|2121111kkkkdkkk；要求距离的最大值，故需0k；可得2122kdk„；当1k时等号成立；故选：B．法二：（光速解）（四川代尔宁补解）直线(1)ykx过定点(1,0)，所以点到直线距离最大值为22(10)(01)2【总结与归纳】本题考查的知识点是点到直线的距离公式，属于基础题．方法二因为直线过定点，将点到直线的距离问题转化为两点之间的距离，是数形结合思想的应用.9．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A．642B．442C．623D．423【思路分析】先由三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据，利用三棱锥的表面积公式计算即可．【解析】：由三视图可知几何体的直观图如图：几何体是正方体的一个角，2PAABAC，PA、AB、AC两两垂直，故22PBBCPC，几何体的表面积为：213322(22)62324故选：C．【总结与归纳】本题考查多面体的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力．10．设3log2a，5log3b，23c，则()A．acbB．abcC．bcaD．cab【思路分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【解析】：333332log2893aloglog