海面原油泄漏的数学建模

海面原油泄漏的数学建模论文作者1：王庆阳（程序设计）论文作者2：陈志鹏（构建模型）论文作者3：刘嘉琦（论文写作）摘要本文主要研究的是海上原油泄漏所形成油膜的面积和形状的估计问题。以墨西哥湾溢油事件为例，建立了在海面流场、季风风场的作用下不平静的海面上溢油扩散、离散和迁移的组合模型。针对问题一，建立了在平静湖面上理想的情况下油膜在重力、表面张力、粘性力、惯性力这几个主要决定因素的作用下的自身扩展模型。利用fay公式得出油墨在各个阶段随时间变化的扩展尺度，计算出油膜面积为A=17.78t3/4，并用matlab模拟出了海上油膜各向同性扩展的圆形模型。针对问题二，在问题一理想化模型的基础上进行改进。在考虑海面流场和季风风场的作用下建立了由油膜扩展、离散和迁移这三种过程所产生的油膜组合运动数学模型。以二维移流扩散方程为基本控制方程，导出了油膜厚度的表达式，从而建立了油膜的虚拟椭圆的长轴和短轴随时间变化的理论公式和图线。首先在问题一扩展尺度的基础上利用菲克定律增加来了油膜的离散尺度而推导出油膜的扩延迟度。然后又引出“虚拟椭圆”的概念得到实际油膜可观测的尺度和面积公式。并根据资料所述美国墨西哥湾泄漏到海面的原油为400万桶，漏油口第84天被堵住,换算可得墨西哥湾原油的平均泄漏速率大概为Q=9100m3/d，最后得出其漏油面积为A=1.17×1010m2。最后考虑油膜的迁移运动使油膜的离散产生随机性（本模型对离散量加入随机数𝛄），从而使油膜形状发生改变，呈现不规则性，此模型认为漂移并不直接改变油膜的面积。用欧拉一拉格朗日追踪质点法求得油膜的漂移扩散。针对问题三，了解溢油对经济、环境的各方面的负面影响，针对不同的溢油环境采取合理的治理方式，使溢油对经济和环境的影响降到最小。关键字：溢油fay公式菲克定律扩展离散迁移拉格朗日速度一、问题重述近年来环境问题备受关注，2010年美国墨西哥湾“深水地平线”钻井平台发生的爆炸造成原油泄漏事件引起了国际社会的高度关注。题目要求建立数学模型正确估计原油扩散在海面上的形状和面积，并在此基础上评价美国墨西哥湾海上原油泄漏对环境和经济的影响。问题一，在平静的湖面上利用汽油模拟海上原油泄漏事件，假设漏油点漏油的速度是0.01mL/s，湖面足够大，只考虑汽油的扩散，不考虑风等其它因素建立理想化模型计算水面油膜的形状和面积。问题二，建立在海面上考虑季风、洋流等因素的原油的运动模型并再查找资料，利用所建立模型估算美国墨西哥湾原油泄漏中油膜的形状和面积。问题三，根据问题二的的计算结果，评价一下美国墨西哥湾原油泄漏对环境和经济的影响。二、模型假设假设溢油模型为为连续均匀溢油；被原油污染的区域水质等情况相同，原油的扩散速度相同，即不考虑水体在不同水域的差别；海水总体积保持不变，不考虑雨雪渗漏以及自然状况下的自净过程（原油在一般情况下，无法自然消除沉积），海面无任何设施（包括船舶、围油设施）；油在大规模扩散仅由重力、表面张力、粘滞力决定，扩散过程中性质不变，如密度、张力等，且在竖直方向处于平衡状态。问题一中，在平静的湖面上利用汽油模拟海面原油泄漏，基于湖面足够大，不考虑风等其他因素的假设，忽略油膜的扩散及扩延，即扩展起主要作用，假设漏油点的速度为0.01ml/s，假设。根据fay公式，在不同的扩展阶段忽略次要作用项，保留主要作用项，得到油膜扩展直径的理论公式。问题二，原油在海面上的扩散是相当复杂的，包括溢油的蒸发、乳化、溶解、生物降解、吸附沉降和氧化等诸多难以量化的复杂过程，不是任何一种物理化学现象所能解释的。在此我们忽略这些过程，只考虑油膜的扩展，离散，迁移这三个主要过程。并假设季风、洋流等因素的作用（使油膜产生漂移）体现在两方面：一是使油膜的离散产生随机，只改变油膜形状和位置并不直接改变油膜的面积。二是假设油膜的质心在油膜上的相对位置改变很小以至可以忽略不计，则油膜的轨迹或运动方式可以等效于质心的运动。三、符号说明g重力加速度vw水的运动粘性系数V溢油总体积o油的密度ao空气和油的表面张力系数w海水的密度wa空气和水的表面张力系数A油膜面积ow油和水的表面张力系数hc油膜可视厚度df油膜各向同性的扩展直径Q平均漏油速率ru油膜迁移速度矢量cu表面流速10u风速wu风速引起的漂流速度矢量柯氏系数D摩擦影响深度四、模型的建立与求解问题一在平静的湖面上利用汽油模拟海面原油泄漏事件，溢油的主要过程是在惯性力、重力、粘性力和表面张力的作用下油膜的扩展模型。最后得到的湖面油膜形状应该是圆形。根据fay公式，油膜各阶段的扩展直径计算公式为：惯性扩展阶段：df=2K1(βgV)1/4t1/2（1）粘性扩展阶段：df=2K2(βgV√vw⁄)1/6t1/4（2）表面张力扩展阶段：df=2K3(σ(ρwvw1/2⁄)1/2t3/4（3）理想条件下当净表面张力系数小于等于零时，原油停止扩散，此时扩展结束所形成的最大直径为：df=356.8V3/8（4）其中，t为从溢油开始计算所经历的时间，β=1−ρo/ρw，σ=σwa−σao−σow,V=10−5t,K1,K2,K3为经验系数。据此可推出油膜面积A=105V3/4在平静的湖面上，以原油泄漏点为中心，向东为x轴，向北为y轴建立直角坐标系，cos/)(10104/353Qtxsin/()10104/353Qty（5）由matlab作图可得如下图型图1在平静湖面上的油膜形状模拟图问题二在不平静的海面上的原油扩散一共包括三个过程：1.第一问模型下的自身扩展。2.由于受到海面流场和季风作用的不均匀作用、海面破碎波及大尺度漩涡等因素作用而引起的油膜分散或破碎分散的离散现象。3.由于海面流、风力、波浪等因素作用而引起的油膜漂移的油膜迁移运动。基于上诉三种过程建立不平静海面上油膜组合运动的数学模型，并估算美国墨西哥湾原油泄漏中油膜的形状和面积。油墨在不平静海面上的扩延迟度应该等于扩展尺度与离散尺度的和。(一)油膜扩展尺度(二)离散尺度油膜在不平静海面上的离散具有随机的性质。有质量守恒原理导出油膜厚度的公式为)()()(bisiiiiyhvxhuthCCC（6）式中油膜中所含第i组分的浓度为Ci；h为油膜的厚度；u、v分别为沿X、Y方向的剪切离散速度；si、bi分别为第i种组分中通过油膜表面和底面的油份通量。求解（6）的关键是确定离散通量与其它时均特性的关系，一般是将其与分子扩散相比拟，采用Fick定律可得图2在平静湖面上油膜面积—时间图像A/m2t/sxhhCKCuixixyhhCKCuiyiy（7）式中，Kx、Ky，分别为油膜沿x、Y方向的离散系数。假定Kx、Ky不随空间变化，将（7）式代入（6）式中可得yCKxCKChhthiyixi2222)()(（8）上式的解为ttVhKyKxKKyxyx44exp422（9）上式又可表示为222222exp2yxyxyxVh（10）式中，x、y分别为x、y方向油膜厚度的标准差。油膜沿x、y方向的离散尺度为tadxxx17.1tadyyy17.1（11）其中，一般取103236.2ax，10/aayx，12(三)油膜的扩延在溢油的扩展离散过程中，溢油的扩延尺度可表示为扩展尺度和离散尺度的叠加。则油膜沿长轴方向(油膜漂移方向)的扩延尺度)(ddkDxfx（12）油膜沿短轴方向(垂直与油膜漂移方向)的扩延尺度)(ddkDyfy（13）式中k=√A’/A（A’为客观油膜面积，A为油膜面积，包括观测不到的部分）为了避免在扩展离散后期，计算的油膜扩延尺度包括油膜边缘观测不到的部分，为了得到实际油膜的尺度，引入“虚拟椭圆”、“虚拟长轴”和“虚拟短轴”。椭圆的实际面积为A’=π4dx‘dy‘（14）其中，yxchQtdxx2ln102/13'22（15）yxchQtdyy2ln102/13'22（16）据此，以原油泄漏点为中心，以原油的主要扩散方向额为为x轴，以垂直于x轴的方向为y轴建立直角坐标系，cos22ln102/13yxchQtxxsin22ln102/13yxchQtyy（17）其中，Q=0.01ml/s；hc=10−8~10−7；x=√12×2.236×10−6×t1.17；y=√12×2.236×10−6/√10×t1.17，用matlab模拟图形得：(四)油膜的迁移原油泄漏后油膜在水面的迁移运动主要受表面流和风力控制。迁移使油膜的离散产生随机性，（本模型对离散量加入随机数，）从而使油膜形状发生改变，图3海面上原油泄漏形状模拟图呈现不规则性，此模型认为漂移并不直接改变油膜的面积。故油膜面积仍按式（15）求得。并根据资料所述美国墨西哥湾泄漏到海面的原油为400万桶，漏油口第84天被堵住,换算可得墨西哥湾原油的平均泄漏速率大概为Q=9100m3/d，最后得出其漏油面积为A=1.17×1010m2。由于漂移的存在，使得油膜会向一个方向移动，记为𝛂方向，假设油膜的质心在油膜上的相对位置改变很小以至可以忽略不计，则油膜的轨迹或运动方式可以等效于质心的运动，其中迁移速度为wcruuu（18）ccuKu1（19）102uKuw（20）其中，1K是表面流漂移系数，它包含了油膜的内应力、厚度等因素的影响，可由实验确定，一般取1.0；2K是风漂流系数，实验数据给出值为3．5％；3．5％；Ⅳ，wu是风速引起的漂流速度矢量，可由下式给出：juiuKuwsincos10102（21）其方向为10u右偏角度，为柯氏偏转角，是由于地球旋转引起的风矢量偏转角，一般采用Ekman的解析解确定：DHDHshDHDHsharctg/2sin/2/2sin/2（22）式中，D称为摩擦影响深度，可取为tD（23）t是海洋上层的垂直涡粘性系数(近似为常数)；是柯氏系数，sin（24）ω是地球自转角速度，φ是纬度。(五)油污污染海域的面积设油膜某质点在r，时刻的坐标为R(ti)，该质点在扩展、离散、风力、海流、蒸发和挥发等因素的共同作用下，ti+1时刻的坐标为R(ti+1),则有RRRttii1（25）R为扩展、离散和漂移在Δt时段内位移的合成，即RRRldsR（26）其中γ为随机数，值为-1到1，Rl为在Δt时段内的漂移矢量，采用积分拉格朗日速度得，ttiidtuRrl1（27）简化模型得，dtulr（28）下图为油膜漂移示意图，假设漂移过程中无面积变化，则时间t内：受污染的海域面积S=d×l。其中，2/''ddyxkd图4迁移速度矢量合成示意图10uwurucuα’图5油膜组合漂移模拟图问题三墨西哥湾海上漏油由于受到环境影响因素较大，在扩展，离散，漂移的作用下，影响的海域面积约为S=d×l（2.3万平方公里）。此次大面积的漏油对波及地区的环境、经济造成了很大的破坏。(一)、对环境的影响这次漏油事件从开始漏油到基本堵漏成功持续了84天，总溢油量约700000-800000立方米。溢油量之大，加上油膜扩展离散以及油膜迁移，导致了被污染水域面积远大于油膜面积，这大大增加了海洋环境被污染甚至被破坏的程度。海洋生态面临着严峻的考验，在受污染海域的656类物种中，造成了大约28万只海鸟，数千只海獭、斑海豹、白头海雕等动物死亡，将有10种动物面临生存威胁，3种珍稀动物面临灭顶之灾（2010年6月数据）。溢油覆盖在海面上，阻碍了浮游植物的光合作用，这从食物链最低端切断了能量的来源，使得处在食物链上层的生物的生存受到了威胁