高中数学-2.5直线与平面的夹角课件-新人教B版选修2-1

异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D,与的关系？CDAB思考：,与的关系？DCAB结论：|cos,|ab||一、线线角：ab，ab，abCDAB设直线方向向量方的的向向量为，为aabb所以与所成角的余弦值为A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，设则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,1),(,,1)222FD所以：11(,0,1),2AF111(,,1)22BD11cos,AFBD1111||||AFBDAFBD113041053421BD1AF3010例一：090,中，现将沿着RtABCBCAABC平面的法向量ABC1，BCCACC11求与所成的角的余弦值.BDAF111平移到位置，已知ABC1111取、的中ABAC111111取、的中点、，ABACDF斜线与平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角AOB二、线面角当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是90°当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成的角是0°斜线与平面所成的角（0°,90°）直线与平面所成的角〔0°,90°〕异面直线所成的角（0°,90°〕AOBM如图,直线OA与平面所成的角为1,平面内一条直线OM与OA的射影OB所成的角为2,设∠AOM为求证:cos=cos1×cos2最小角原理斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。若直线l1与平面所成的角为60°，则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角为，最大的角为。90°60°SABOFE如图，ACB=90，S为平面ABC外一点，SCA=SCB=60，求SC与平面ACB所成的角42nBA，直线与平面所成角的范围：[0,]2ABO,设平面的法向量为，则与的关系？nnBA思考：结论：sin|cos,|nAB二、线面角：nnBAAB2nBA，例1：1111ABCDABCD的棱长为1.111.BCABC求与面所成的角正方体ABCD1A1B1C1Dxyz(000)A，，，1(101)B，，，(110)C，，，设正方体棱长为1，1ABADAA，，为单以1(101)(110)ABAC，，，，，1(111)C，，，11(010)BC则，，，1()ABCnxyz设为，，平面的法向量100nABnAC则，0=10==-1xzxyn=(1-1-1)，，，，，，xyz所以取得故位正交基底，可得110103cos313nBC，1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABC例2、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。(1)证明：PA//平面EDB；(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)证明：设正方形边长为1，则PD=DC=DA=1.连AC、BD交于G点DADCDP以，，为正交基底建立空间直角坐标系。如图所示。则(000)(001)(100)(010)(110)DPACB，，，，，，，，，，，，，，(101)PA，，11(0)22EPCE又为中点，点坐标为，，11(0)22GBDG为中点，点坐标为，，11(0)22EG，，2////PAEGPAEGPAEGPAEG可得。因为与不共线，所以//PAEDBEGEDBPAEDB又平面，平面平面(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyz(1)(000)(001)11(110)(0)22DPBE由知，，，，，，，，，，，PDABCDPDABCD解：因为平面，所以是平面的法向量。11(001)(1)22PDEB，，，，，10062cos6312PDEB，所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为66所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为55一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。2OBAAB从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。3定义:AB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCD5OBA∠AOB表示方法：lOO1ABA1B1∠AOB∠A1O1B1？以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角9二面角的大小用它的平面角来度量度量：二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB:[0,]范围ABDCA1B1D1C1在正方体AC1中，求二面角D1—AC—D的大小？Oll三、面面角：二面角的范围：[0,]①法向量法1n1n2n2n12nn，12nn，12nn，12nn，cos12cos,nncos12cos,nn注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角设面的一个法向量为BDC1),,(zyxm解：以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz则B(0,1,0))0,41,43(D取＝(1,0,0)为面的法向量BCC1nyxzCADBC1B1A1由得mDBmDC,113120,442CDmxyz04343yxmDB解得zyx263所以，可取)6,3,3(m二面角的大小等于〈〉CBCD1nm,∴∴cos〈〉=nm,22233nmnm即二面角的余弦值为CBCD122)22,0,0(1C)22,41,43(1DC∴)0,43,43(DB例.正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求二面角的余弦值。111CBAABC11BCABCBCD1①证明：以为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得1DADCDD、、1(200)(020)(001)(222)(110)ACMBO，，，，，，，，，，，，，，。1(201)(021)(112)MAMCBO所以，，，，，，，，1120200220BOMABOMC，11BOMABOMC所以，11BOMABOMCMAMCC即，。又1BOMAC所以平面1.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC;（2）求二面角的余弦值.1111DCBAABCD1DDOB11BMACB1A1C1D1DCBAOMxyz②1BOMAC由知平面①B1A1C1D1DCBAOMxyz1BOMAC所以是平面的一个法向量1(200)(001)(222)AMB由，，，，，，，，得1()BMAnxyz设平面的一个法向量为，，1(201)(221)MAMB，，，，，10020021-2220nMAnMBxzzxyxyz所以，即取=得=，=1(122)BMAn所以平面的一个法向量为，，1(112)BO且，，11246cos669BOn，166BMAC所以二面角的余弦值为。小结：1.异面直线所成角：cos|cos,|ab2.直线与平面所成角：sincos,nAB||ABCD1DABOnabanlcoscos,ABCDABCDABCDDCBA3.二面角：ll1n1n2n2n一进一出，二面角等于法向量的夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。cos12cos,nncos12cos,nn