华科王敏老师自控教案第三章

第三章控制系统的时域分析3-1引言3-2一阶系统的时域响应3-3二阶系统的时域响应3-4高阶系统的时域响应3-5控制系统的稳定性3-6控制系统的稳态误差3-1引言分析和设计控制系统的首要任务是建立系统的数学模型。一旦获得合理的数学模型，就可以采用不同的分析方法来分析系统的性能。经典控制理论中常用的工程方法有时域分析法根轨迹法频率特性法分析内容瞬态性能稳态性能稳定性3.2一阶系统的时域响应由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统,典型闭环控制一阶系统如图所示.其中是积分环节，T为它的时间常数。Ts1一阶系统的结构图C(s)-R(s)Ts111)()()(TssRsCs典型的一阶系统是一个惯性环节,输出为)(11)().()(sRTssRssC在零初始条件下，利用拉氏反变换或直接求解微分方程，可以求得一阶系统在典型输入信号作用下的输出响应。ssR1)(TsssTssC1111.11)(TtetC1)()0(t3.2.1单位阶跃响应设系统的输入为单位阶跃函数r(t)=1(t),其拉氏变换为,则输出的拉氏变换为TsTsTssTssC11111)(22)1()(TtTteTtTeTttC（t≥0）3.2.2单位斜坡响应设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=t，其拉氏变换为则输出的拉氏变换为21)(ssRTsTTssC1111)(3.2.3单位脉冲响应设系统的输入为单位脉冲函数r(t)=δ(t),其拉氏变换为R(s)=1,则输出响应的拉氏变换为TteTtC1)(（t≥0）对上式进行拉氏反变换，求得单位脉冲响应为系统对某种输入信号导数的响应，等于对该输入信号响应的导数；对某种输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分。3.3二阶系统的时域响应KsTsKsRsCs2)()()()1(TssKC(t)R(t)_C(t)二阶系统结构图设二阶系统的结构图如图所示。系统的闭环传递函数为22222)()()(nnnssRsCsTKnTK21将系统的传递函数改写成如下形式无阻尼自然振荡角频率阻尼系数3.3.1二阶系统的阶跃响应系统具有两个不相等的负实数极点121nnP122nnPj1P2P0[s]1过阻尼时极点分布)(121)(21221pepetCtptpn)0(t稳态分量为1，瞬态分量包含两个衰减指数项，曲线单调上升。C(t)to1过阻尼响应1.过阻尼（ζ1）的情况1P2P21njnn[s]o10欠阻尼时的极点分布211nnjp221nnjp系统具有一对在S平面的左半部的共轭复数极点，称为阻尼自振频率21nd0)sin(11)(2ttetCdtn21arctgarccos2.欠阻尼（0ζ1）的情况系统具有两个相等的负实数极点，如图所示。np2,121PPnjo[s]1临界阻尼时极点的分布1])([00sssC1]))(([{21nsnssCdsdnsnnssC])()([22221022)()()(nnnnssssssCtntnnteetC1)()1(1tentn)0(tt1oC(t)临界阻尼响应系统的输出响应由零开始单调上升，最后达到稳态值1，响应曲线如图。是输出响应的单调和振荡过程的分界，通常称为临界阻尼状态。13.临界阻尼（ζ＝1）的情况系统有一对共轭纯虚数极点,它们在S平面上的位置如图所示。njp2,1ttCncos1)(jn1P2P[s]o0(a)无阻尼时的极点分布和响应C(t)(b)1to系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为n)sin1(cos1)(2ttetCddtn0将代入4.无阻尼（ζ=0）的情况系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为)sin(11)(2tetCdtn)0(t对应的响应曲线如图所示。由上式和图所示曲线来定义系统的瞬态性能指标，同时讨论性能指标与特征量之间的关系。超调量C(t)上升时间峰值时间调节时间误差带稳态误差)(to1.0t控制系统性能指标3.3.2二阶系统瞬态性能指标1.上升时间tr响应曲线从零开始上升，第一次到达稳态值所需的时间，称为上升时间。21ndrt21ndpt2.峰值时间tp响应曲线C(t)从零开始到达第一个峰值所需时间，称为峰值时间。p3.超调量在响应过程中，输出量C（t）超出其稳态值的最大差量与稳态值之比称为超调量。%100%100)()()(21eCCtCpp4.调节时间st%5%2响应曲线到达并停留在稳态值的（或)误差范围内所需的最小时间称为调节时间（或过渡过程时间）。21tne)(stt05.0nst211ln302.0nst211ln4011011......)(asasabsbsbsnnnnmmmmsssPsZsKsRssCrknknkkqiimjjr1)2()()()()()(12211设高阶系统的闭环传递函数为假设系统所有零点、极点互不相同，且极点中q个实数极点和r对复数极点，零点中只有实数零点，则系统单位阶跃响应的拉氏变换为rqn2式中将上式展开成部分分式，得3.4高阶系统的时域响应qirknknkkknkknkkkiissCsBPsssC11222021)()(qiknkrktktpiteetCnkki1210)1cos()(rknktkteCnkk12)1sin()0(t对上式进行拉氏反变换，求得系统在零初始条件下的单位阶跃响应为高阶系统的时域响应是由稳态值和一些惯性环节及振荡环节的瞬态响应分量所组成。各瞬态分量在过渡过程中所起作用的大小，将取决于它们的指数、的值和相应项的系数、、的大小。如果系统所有极点都分布在S平面的左半部分，即所有极点均具有负实部，那么，当t趋于无穷大时，式中的指数项都趋于零，系统的响应达到稳态值。iPnkkikCkBiPnkkiPnkk在瞬态过程中，某衰减项的指数或的值越大，则该项衰减越快，反之亦然。而和就是系统的极点到虚轴的距离，因此，如果分布在S平面左半部分的极点离虚轴越远，则它对应的分量衰减越快。显然，对系统过渡过程影响最大的，是那些离虚轴最近的极点。各衰减项的系数不仅与相应的极点在S平面中的位置有关，而且还与零点的位置有关。极点的位置距原点越远，则相应分量的系数越小，该分量对系统过渡过程的影响就越小。如果某极点与零点很靠近，则相应分量的系数也很小，这对零极点对系统过度过程的影响也将很小。高阶系统的瞬态特性主要由系统传递函数中那些靠近虚轴而又远离零点的极点来决定。如果高阶系统有一个极点（或一对共轭复数极点）离虚轴最近，且其附近又无零点存在，而其他所有极点与虚轴的距离都在此极点与虚轴的距离的五倍以上，则可近似的认为系统的瞬态特性由这个（或这对）极点来确定，而其它极点的影响可以忽略不计，这个（或这对）极点就称为高阶系统的主导极点。高阶系统的主导极点常常是共轭复数极点，因此高阶系统可以常用主导极点构成的二阶系统来近似。相应的性能指标可按二阶系统的各项指标来估计。在设计高阶系统时，常利用主导极点的概念来选择系统参数，使系统具有预期的一对共轭复数主导极点，这样，就可以近似的用二阶系统的性能指标来设计系统。3.5控制系统的稳定性3.5.1稳定的概念和定义在自动控制理论中，有多种稳定性的定义，这里只讨论其中最常用的一种，即渐近稳定性的定义。'AAf图aAf图b图cdfcA图c中，小球在C、D范围内，系统是稳定的，故可以认为该系统是条件稳定系统。图a为稳定的系统。图b为不稳定系统。3.5.2稳定的充要条件线性定常系统的稳定性的定义：如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够逐渐恢复到原来的平衡状态，则称该系统是渐近稳定的（简称为稳定）。否则，称该系统是不稳定的。设线性定常系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲，这相当于系统在零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于时，系统的输出响应C(t)收敛到原来的零平衡状态，即该系统就是稳定的。0)(limtCt)(t如果特征方程的所有根互不相同，且有q个实数根和r对共轭复数根,则在单位脉冲函数的作用下，系统输出量的拉氏变换可表示为将上式用部分分式法展开并进行拉氏反变换得式中i21nknkkj1)2()()()(11221qirknknkkimjjrsspszsKsCqirkdkkdkkttitCteetCnkki11)sincos()(21nkdk设系统的闭环传递函数为011011......)(asasabsbsbsnnnnmmmm上式表明当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量都是衰减的，且有，此时系统是稳定的。0)(limtCt线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，即闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半部分（不包括虚轴）。如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根，而其余的特征根均有负实部，则C（t）趋于常数或作等幅振荡，这时系统处于稳定和不稳定的临界状态，称为临界稳定状态。对于大多数实际系统，当它处于临界状态时，也是不能正常工作的，所以临界稳定的系统在工程上属于不稳定系统。)(limtCt如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根对应的瞬态分量是发散的，此时有，系统是不稳定的。1、稳定的必要条件设系统的特征方程为若该方程的特征根为（1,2,….n）,则上式可改写成为0......0111asasasannnnip0))......()((......210111nnnnnnnpspspsaasaasaas)......(211nnnaannnnaa1423231212............nnnaa......)1(210……3.5.3劳斯稳定判据由此可见，如果特征方程的根都具有负实部，则上式的所有系数必然都大于零。故系统稳定的必要条件是其特征方程的各项系数均为正，即naaa,,,10),,2,1,0(0niainppp,,21根据必要条件，在判别系统的稳定性时，可事先检查系统特征方程的系数是否都大于零，若有任何系数是负数或等于零，则系统是不稳定的。但是，当特征方程满足稳定的必要条件时，并不意味着系统一定是稳定的，为了进一步确定系统的稳定性，可以使用劳斯判据。2.劳斯判据应用劳斯判据分析系统的稳定性时，可按下述方法进行。将系统的特征方程写成如下标准形式0......0111asasasannnn)0(0a将方程各项系数组成劳斯表…nsna2na6na4na1ns7na5na3na1na2ns1b4b3b2b………3ns1c4c3c2c………4ns1d4d3d2d2s1e2e1s1f0s1g………………………计算劳斯表的各系数13211nnnnnaaaaab15412nnnnnaaaaab17613nnnnnaaaaabib……系数的计算一直进行到其余的b值全部等于零为