概率论§4.1-数学期望

1第四章随机变量的数字特征§4.1数学期望§4.4矩和协方差矩阵§4.2方差§4.3协方差和相关系数2引例：某大学一位教师给15位研究生上课，期末考试成绩如下：72，81，90，85，76，90，80，8378，75，63，73，30，82，90教学院长认为：试题太容易，因为得90分的就有3人！系主任认为：考题偏难，因为平均成绩76.5分！该教师认为：考题适宜，因为从总体看80分是有代表性的，多于80分和少于80分的人数相等！究竟谁的话更有道理？3分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数。评定某企业的经营能力时，只要知道该企业人均赢利水平；研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及每粒的平均重量；考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小。4由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征，这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义。随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写随机变量的平均取值——数学期望随机变量的取值平均偏离平均值的情况——方差描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数数字特征51||kkkxp定义设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk(k=1,2,…)若级数绝对收敛，即1kkkxp通常记数学期望为E(X)1()kkkEXxp即则称为X的数学期望，简称期望或均值。1kkkxp离散型随机变量的数学期望§4.1数学期望6例1已知离散型随机变量X的可能值为x1=1,x2=0,x3=1，且E(X)=0.1,E(X2)=0.9。求对应于可能值x1,x2,x3的概率p1,p2,p3。解:并且p1+p2+p3=1E(X)=(1)p1+0p2+1p3=0.1X201Pp2p1+p3E(X2)=0p2+1(p1+p3)=0.9计算可知p1=0.4,p2=0.1,p3=0.57常见离散型分布的期望(1)(0-1)分布（即两点分布）X～B(1,p)X01P1pp数学期望E(X)=0(1p)+1p=p随机变量X取0与1两个值，其概率分别为1-p和p，分布律为80()(1)nkknknkEXkCpp1!(1)!()!nknkknkppknknkknkppknknnp1)1()1(1)1()!()!1()!1(11(1)(1)11(1)nkknknknpCppnp(1),0,1,,kknknXppkn的分布律为P(X=k)=C1(1)nnppp(2)二项分布X～B(n,p)9(3)泊松分布X～P()0()!kkeEXkk11(1)!kkek令i=k1可得0()!iiEXei=ee={}(0,1,2,)!kXPXkekk的分布律为10常见离散型随机变量的数学期望分布数学期望概率分布参数为p的0-1分布pXPpXP1)0()1(p二项分布B(n,p)nkppCkXPknkkn,,2,1,0)1()(np泊松分布P(),2,1,0!)(kkekXPk11定义设连续型随机变量X的概率密度为f(x)。若积分绝对收敛，即()xfxdx||()xfxdx则称积分()xfxdx为X的数学期望。()()EXxfxdx即通常记为E(X)连续型随机变量的数学期望12常见连续型分布的期望(1)均匀分布X～U(a,b)()()EXxfxdxbaxdxba2ab=1,()0,axbfxba其它X的概率密度为由定义可知X的数学期望为13(2)指数分布0()xEXxedx1=,0()(0)0,0xexfxxX的概率密度为由定义可知X的数学期望为利用定积分公式10!naxnnxedxa14(3)正态分布X～(,2)22()21()2xEXxedx令xt可得221()()2tEXtedt=22()21(),-2xfxexX的概率密度为由定义可知X的数学期望为222tedt奇函数和偶函数的乘积15分布数学期望概率密度区间(a,b)上均匀分布其它,0,1)(bxaabxf2ba指数分布E()其它,00,)(xexfx1正态分布N(,2)222)(21)(xexf常见连续型随机变量的数学期望16设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望。那么应该如何计算呢？随机变量的函数的数学期望一种方法是:因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由X的分布求出来。一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.但是使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的。17是否可以不求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？下面的两个基本定理指出，答案是肯定的。下述两个定理的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了。这给求随机变量函数的期望带来很大方便。18定理设Y是随机变量X的函数，即Y=g(X)，其中g(x)是连续函数：(1)设X是离散型随机变量，分布律为P(X=xk)=pk(k=1,2,…)1()[()]()kkkEYEgXgxp1()kkkgxp绝对收敛，则有若(2)设X是连续型随机变量，概率密度为f(x)。()[()]()()EYEgXgxfxdx()()gxfxdx绝对收敛，则有若19定理设Z=g(X,Y)是二维随机变量(X,Y)的函数，其中g为连续函数：(1)设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为P(X=xi，Y=yj)=pij(i,j=1,2,…)若级数绝对收敛，则有11(,)ijijjigxyp11()[(,)](,)ijijjiEZEgXYgxyp111()iijiijiiEXxpxp特别的111()jijjjjijEYypyp20(2)设(X,Y)是连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)。若积分绝对收敛，则有(,)(,)gxyfxydxdy()[(,)](,)(,)EZEgXYgxyfxydxdy()(,)()YEYyfxydxdyyfydy()(,)()XEXxfxydxdyxfxdx特别的21例2设随机变量(X,Y)的分布律如下:解:E(XY)=010.15+020.15+110.45+120.25=0.95XY12010.150.150.450.25求E(XY)2200111()(,)23xEXxfxydxdydxxdyE(-3X+2Y)=001112(32)3xdxxydyE(XY)=00111(,)212xxyfxydxdydxxydy2(,)(,)(,)0xyAXYfxy的概率密度为其它解：0xy10xy例3设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。求E(X)，E(-3X+2Y)，E(XY)。由题设可知23)(,,,量的数学期望存在以下设所遇到的随机变是常数是随机变量，设cbaYX数学期望的性质性质1（保常数）对于常数a，有E(a)=a性质2（保线性）E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c性质3（保加法）E(XY)=E(X)E(Y)niiniiXEXE11)(][:推广24性质4（单调性）若随机变量X0，则有E(X)0若X1X2，则有E(X1)E(X2)性质5（有界性）若aXb，则有aE(X)b性质6|E(X)|E(|X|)性质7（柯西-许瓦兹不等式）若E(X2)，E(Y2)均存在，则E(XY)存在，且有222[()]()()EXYEXEY25性质8设随机变量X与Y相互独立，则有E(XY)=E(X)E(Y)1212)1,2,ijijXYaabbXYPXaYbpij证明：设(,是离散型随机变量分别以，，和，，记和的一切可能值记其分布为（，），,,,()()()()()()()ijijijijijijijijiijjijXaYbXYabEXYabpabPXaPYbaPXabPYbEXEY因为当时有故()()ijijpPXaPYb由独立性假设可知26若E(XY)=E(X)E(Y)，则X和Y不一定相互独立YXpij81818181818181810pi•838382-101-101p•j838382127XYP-101828284;0)()(YEXE;0)(XYE)()()(YEXEXYE但是81)1,1(YXP283)1()1(YPXP显然有即X和Y并不相互独立28例4设X～B(n,p)，求E(X)。解:这里利用数学期望的性质来求E(X)在每次成功概率均为p的n次独立重复试验中10iiAXiA，第次试验中出现记随机变量，第次试验中不出现则X1,X2,…,Xn相互独立且X=X1+X2+…+Xn服从二项分布因为Xi服从两点分布所以有E(Xi)=p(i=1,2,…,n)则有1()()niiEXEX=np