《刘徽与海岛算经》中职数学(拓展模块)【高教版】

刘徽制作者：林依然•刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东邹平县人，魏晋期间伟大的数学家，被称为布衣数学家。中国古典数学理论的奠基者之一。是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。刘徽•鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作中国数学史上的“牛顿”。•刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位，成为中国传统数学理论体系的奠基者之一。方田《九章算术》粟米衰分少广商功均输盈不足方程勾股《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列。但因解法比较原始，缺乏必要的证明，刘徽则对此均作了补充证明以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成•据《隋书·律历志》称：“魏陈留王景元四年（２６３）刘徽注《九章》”。他在长期精心研究《九章算术》的基础上，采用高理论，精计算，潜心为《九章》撰写注解文字。他的注解内容详细、丰富，并纠正了原书流传下来的一些错误，更有大量新颖见解，创造了许多数学原理并严加证明，然后应用于各种算法之中，成为中国传统数学理论体系的奠基者之一。如他说：“徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注”。又说：“析理以辞，解体用图。庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。”其精髓是言必有据。《九章算术注》中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃.逻辑思想、重验思想、极限思想、求理思想、创新思想、对立统一思想和言意思想等均是其科学思想的真实体现刘徽集各家优秀思想方法,并加以创新而用于数学研究,使以《九章算术》为代表的中国传统数学发生了根本性的变化,并上升到了一个新的阶段,他是遥遥领先于中国传统数学领域的杰出代表,也堪称是世界数学泰斗。割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这可视为中国古代极限观念的佳作徽率（徽术）157/50即3.14刘徽的割圆术圆周率计算上的有所突破，有赖于有效方法的诞生，这种方法就是割圆术。刘徽经过深入研究，他发现圆内接正多边形边数无限增加时，多边形周长可无限逼近圆周长，从而创立了“割圆术”。刘徽的割圆术割圆术•刘徽在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明•了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科•学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次•边数倍增，算到192边形的面积，•得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，•得到π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。《海岛算经》•《海岛算经》是三国时代魏国数学家刘徽所著的测量学著作，原为《刘徽九章算术注》第九卷勾股章内容的延续和发展，名为《九章重差图》，附于《刘徽九章算术注》之后作为第十章。唐代将《重差》从《九章》分离出来，单独成书，按第一题“今有望海岛”，取名为《海岛算经》，是《算经十书》之一。•刘徽《海岛算经》“使中国测量学达到登峰造极的地步”[1]，使“中国在数学测量学的成就，超越西方约一千年”（美国数学家弗兰克·斯委特兹语）[2]•《海岛算经》是中国最早的一部测量数学事着，亦为地图学提供了数学基础。《海岛算经》《海岛算经》共九问。都是用表尺重复从不同位置测望，取测量所得的差数，进行计算从而求得山高或谷深，这就是刘徽的重差理论。《海岛算经》中，从题目文字可知所有计算都是用筹算进行的。“为实”指作为一个分数的分子，“为法”指作为分数的分母。所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸；１里＝180丈=1800尺；1丈=10尺：1步=6尺，1尺=10寸。在白撰《海岛算经》中，刘徽提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题。1望海岛2望松生山上3南望方邑4望深谷5登山望楼6南望波口7望清渊8登山望津9登山临邑•今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表三相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末三合。问岛高及去表各几何？答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。•术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法。除之，得岛去表里数。•翻译：假设测量海岛,立两根表高均为5步,前后相距1000步,令后表与前表在同一直线上,从前表退行123步,•人目著地观测到岛峰,从后表退行127步,人目著地观测到岛峰,问岛高多少岛与前表相距多远？•由于前表去岛的距离不能直接测量，刘徽用同样高度的表杆前后测量，表杆与地面垂直，人眼贴地，望表杆顶和岛上山顶对齐，这时测得人眼和前表杆的水平距离叫“前表却行”DG=123步；再将表杆往后移动，两彪杆间距称为“表间”=1000步，依法测出“后表却行”FH=127步。•表高=CD,前表却行=DG后表却行=FH相多=FH-DG表间=DF岛高=AB前表去岛远近=BD•依法得岛高AB=CDxDF/(FH-DG)+CD•前表去岛远近BD=DGxDF/(FH-DG)《中国数学大系》一书中评价《海岛算经》：“使中国测量学达到登峰造极的地步。在西欧直到16，17世纪，才出现二次测量术的记载，到18世纪，才有了三、四次测量之术，可见中国古代测量学的意境之深，功用之广”。刘徽《海岛算经》的测量术，实比欧洲早一千三百至一千五百年。总结:刘徽的数学成就•一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系：①在数系理论方面用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。②在筹式演算理论方面先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。③在勾股理论方面逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。④在面积与体积理论方面用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。•二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的创见：①割圆术与圆周率他在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。②刘徽原理在《九章算术•阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。③“牟合方盖”说在《九章算术•开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径)的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。④方程新术在《九章算术•方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想。⑤重差术在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题。•告往知来，举一反三•异辞•触类而长，靡所不入•出入相补，各从其类刘徽的数学学习理论编者语•要如何做到上课认真听讲？•我们都知道一个人的注意力集中时间是有限的，一节课45分钟如何保持时时刻刻都能认真听讲不走神呢？•1、往前坐•坐的位置越靠后，注意力就越难集中。老师不会注意到你的事实可以让你不再紧张，放心去做别的事情。坐在后面，视线分散，哪怕你是在看老师，如果有人移动，你的视线就会飘到那个同学的后脑勺上去，也就无法集中注意力。而且，坐在后面很难读到老师的表情。认真听讲不单纯是指听老师说的话，把握老师的表情和语调之类的小细节也是很有必要的。说话比平时更用力，或者表情严肃地强调的那个部分几乎百分之百地会出现在考试中。但是如果坐在后面，那种重要的提示就全都错过了。•与此相反，如果坐在前面，首先心情就很不同，自己比别人靠前的感觉让你听课时的态度变得更积极。与老师眼神交会的机会增多，感觉就好像是老师在做一对一个人辅导。•有的学生恰恰就是因为这一点，讨厌坐在前面。和老师眼神交会非常有负担，稍微做点儿小动作就会被老师发现，非常不方便。而且坐在前面说不定还会被问到一些难以回答的问题。•但是，那却是提升成绩最快的方法。学习要带有一定程度的紧张感，坐在前面，自然而然就会紧张起来。没有必要自己费心思集中精神，那种环境就能帮助你做到。虽然看上去好像不太方便，但其实那才是最便于学习的位置。•2、不要看书，要看老师的眼睛•只要老师不是在一味地读教材，那老师的“话”就不可能和你低头看着的教材上的“文字”一致。头脑聪明的学生，也许能做到既集中精神听老师的话，又集中精神看眼前书上的内容。可是实际上大部分的学生都做不到这一点。•认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。•低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充实地听完整堂课。•3、课前预习•课前预习新课内容，找出不理解的地方标记下来。预习后尝试做课后练习题，不要怕出错，因为老师还没有讲，出错也是正常的。•关键是，出错了你就知道上课时应该重点听哪里，注意力自然就能集中了。•4、即便上课时不理解也不要放弃•有些同学觉得老师讲的听不懂，就干脆不再听讲，按照自己的方法去学习。其实这样做真的很傻，因为不听讲就非常容易和同学们的学习进度脱节，这就会直接导致考试时成绩下降。原因是，老师讲的内容不一定都在教材中体现，有相当一部分重点内容是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。•所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光了，但等到你日后自己学习的时候，也能让你回想起很多内容。2021/6/8教学资料精选17谢谢欣赏！2021/6/8教学资料精选18