高三一轮复习函数的定义域和值域

第二章基本初等函数、导数及其应用第2课时函数的定义域和值域栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．常见基本初等函数的定义域(1)函数y＝ax(a＞0且a≠1)、y＝sinx、y＝cosx的定义域是R吗？提示：是(2)函数y＝logax(a＞0且a≠1)、y＝tanx的定义域分别是什么?提示：y＝logax的定义域是{x|x＞0}或(0，＋∞)，y＝tanx的定义域是{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关温馨提醒：函数表达式有意义的准则一般有：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是____．(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a＞0时，值域为_________________；当a＜0时，值域为_________________．y|y≥4ac－b24aRy|y≤4ac－b24a栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(3)y＝kx(k≠0)的值域是________．(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是________．(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是______．(6)y＝sinx，y＝cosx的值域是[－1，1]．(7)y＝tanx的值域是______．{y|y≠0}{y|y＞0}RR栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为()A．{－1，0，3}B．{0，1，2，3}C．{y|－1≤y≤3}D．{y|0≤y≤3}A栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关2．(2014·江西南昌市模拟测试)函数f(x)＝2x＋12x2－x－1的定义域是()A．{x|x≠－12}B．{x|x＞－12}C．{x|x≠－12且x≠1}D．{x|x＞－12且x≠1}D栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关3．(2014·浙江杭州模拟)函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞)B．[0，4]C．[0，4)D．(0，4)4．(教材改编题)函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的定义域为_______________，值域为______________.C[－6，0]∪[3，7)[0，＋∞)栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关5．(教材改编题)若x－4有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是_____________．[－1，＋∞)栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(1)(2013·高考山东卷)函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()A．(－3，0]B．(－3，1]C．(－∞，－3)∪(－3，0]D．(－∞，－3)∪(－3，1](2)已知函数f(2x)的定义域是[－1，1]，则f(x)的定义域为________．求函数的定义域[课堂笔记]A12，2栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解析】(1)由题意，自变量x应满足1－2x≥0，x＋30，解得x≤0，x－3，∴－3x≤0.(2)∵f(2x)的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，∴12≤2x≤2，故f(x)的定义域为12，2.栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关简单函数定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义的条件构造不等式(组)求解．(3)对抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出；②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．提醒：求定义域时对于解析式先不要化简．栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．(1)函数f(x)＝x22－x－lg(x－1)的定义域是()A．(0，2)B．(1，2)C．(2，＋∞)D．(－∞，1)(2)已知函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝f（x2）1＋lg（x＋1）的定义域为________________________．B(－1，－910)∪(－910，2]栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解析】(1)函数有意义需满足2－x＞0，x－1＞0，即1＜x＜2，所以，函数的定义域为(1，2)．(2)由0≤x2≤2x＋101＋lg（x＋1）≠0，得－2≤x≤2x－1x≠－910，∴－1x－910或－910x≤2.故函数g(x)的定义域为(－1，－910)∪(－910，2]．栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关求下列函数的值域．(1)y＝x2＋2x(x∈[0，3])；(2)y＝1－x21＋x2；(3)y＝x＋4x(x＜0)；(4)f(x)＝x－1－2x.求函数的值域[课堂笔记]栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】(1)(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵y＝(x＋1)2－1在[0，3]上为增函数，∴0≤y≤15，即函数y＝x2＋2x(x∈[0，3])的值域为[0，15]．(2)y＝1－x21＋x2＝21＋x2－1，∵1＋x2≥1，∴0＜21＋x2≤2.∴－1＜21＋x2－1≤1.即y∈(－1，1]．∴函数的值域为(－1，1]．(3)∵x＜0，∴x＋4x＝－－x－4x≤－4，当且仅当x＝－2时等号成立，∴y∈(－∞，－4]．∴函数的值域为(－∞，－4]．栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(4)法一：(换元法)令1－2x＝t，则t≥0且x＝1－t22，于是y＝1－t22－t＝－12(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤12，故函数的值域是－∞，12.法二：(单调性法)f(x)的定义域为－∞，12，容易判断f(x)为增函数，所以f(x)≤f12＝12，即函数的值域是－∞，12.栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关求函数值域的基本方法：(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋a－bx2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法:形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数可用此法求值域.栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关2．求下列函数的值域：(1)y＝x－3x＋1；(2)y＝x2－xx2－x＋1；(3)y＝log3x＋logx3－1(x＞1)．栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】(1)法一：y＝x－3x＋1＝x＋1－4x＋1＝1－4x＋1.因为4x＋1≠0，所以1－4x＋1≠1，即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．法二：由y＝x－3x＋1，得yx＋y＝x－3.解得x＝y＋31－y，所以y≠1，即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．(2)y＝x2－x＋1－1x2－x＋1＝1－1x2－x＋1，∵x2－x＋1＝x－122＋34≥34，栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关∴0＜1x2－x＋1≤43，∴－13≤y＜1，即函数的值域为－13，1.(3)y＝log3x＋1log3x－1，令log3x＝t，则y＝t＋1t－1(t≠0)，x＞1，t＞0，y≥2t·1t－1＝1，当且仅当t＝1t即log3x＝1，x＝3时，等号成立，故函数的值域是[1，＋∞)．栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．与函数定义域、值域有关的参数问题[课堂笔记][－1，0]栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解析】函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关求解定义域为R或值域为R的函数问题时，都是依据题意，对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关3．已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0，1]，则满足条件的整数数对(a，b)共有______________个．5【解析】由0≤4|x|＋2－1≤1，即1≤4|x|＋2≤2，得0≤|x|≤2，满足整数数对的有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)，共5个．栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(2013·高考重庆卷)函数y＝1log2（x－2）的定义域是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(2，3)∪(3，＋∞)D．(2，4)∪(4，＋∞)求函数的定义域[解析]由题可知x－20x－2≠1，所以x2且x≠3.C栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关本考题是由教材人教A版必修1P73练习T2(2)“求函数的定义域：y＝1log2x”变式而来．栏目导引第二章基本初等函数、导数及其应用名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．(2014·湖北武汉市高三一模)函数y＝x＋1＋（x－1）0lg（2－x）的定义域是______________________．{x|－1≤x≤1或1x2}【解析】由x＋1≥0，x－1≠0，2－x0，2－x≠1，得x≥－1，x≠1，x2