无单元技术在压力管道屈曲失稳分析中的应用

水利学报2005年7月SHUILIXUEBAO第36卷第7期1文章编号：0559-9350(2005)07-0880-06无单元技术在压力管道屈曲失稳分析中的应用孟闻远1，2，卓家寿1，籍东3(1.河海大学土木工程学院，江苏南京210098；2.华北水利水电学院，河南郑州450008；3.华睿投资集团有限公司，北京100031)摘要：本文将加肋的水工压力管道看成厚曲梁与柱壳的组合体，考虑肋壳的相互作用，推导了厚曲梁及柱壳的非线性几何方程。应用无单元技术建立曲梁的位移形状函数，消除了有限元法计算板壳时的闭锁现象。推导出了加肋柱壳的稳定性分析及静态和动态分析的一般性数学表达式。基于上述理论及水工压力管道实际工作状态，建立了分析压力管道屈曲失稳的模型。关键词：加肋柱壳；稳定性；位移模式；无单元新技术中图分类号：TU433文献标识码：A水工压力管道正常工作时一般承受较大的内水压力，但在施工期或非正常无水状态下承受较大的外压力(如灌浆压力、突然停水后的负压力等)。在外压力作用下，压力管道时有失稳破坏，如我国湖南镇水电站和黄龙滩水电站、云南绿水江水电站、广东泉水水电站。在国外也有压力管道破坏的事故，如加拿大的Kemao水电站、巴西的Nilo-pecanha水电站、美国的泰乌姆及美国最大的抽水蓄能电站BathCounty水电站等。随着国内外水电站建设事业的迅速发展，特别是大量的高水头、大容量抽水蓄能电站的兴建，压力管道越来越趋向于大型化、巨型化，这就给压力管道的设计提出了更加复杂的课题。20世纪50年代以来，国内外对水电站压力管道有大量的研究[1～10]，在分析方法、强度分析、结构优化与设计、材料与结构模型试验等方面有较大的发展，如钢衬钢筋混凝土压力管道的成功应用及其分析理论、设计方法的出现等。马善定[6]、董哲仁[7]、路振刚和董毓新[8]、刘东常[9]等对水电站压力管道的设计和分析理论均有新的发展。但现有压力管道外压稳定性分析理论存在着缺陷，主要表现在计算模型不够准确，计算方法受到局限。目前压力管道稳定性设计分析的主要方法[1，11]是解析方法和以有限元分析为主的数值计算方法。事实上，真正用解析方法对此类复杂的组合壳体进行分析是无能为力的，于是有研究者将实物模型进行降维简化以求得解析表达式，这些方法都是在假设条件下以牺牲真实受力变形状态为代价来推导简化公式，他们在垂直轴线方向取单位宽度的圆环来分析，把肋看成刚性支承，即使考虑肋的作用，也是将肋看成附加部分壳体尺寸的圆环。随着计算理论及计算机技术的迅速发展，有限元数值计算方法逐步应用于水工压力管道分析，但由于曲壳元所依据的理论及有限元列式都非常复杂，因而往往难以构造出完备的阶次高、协调性好且易于计算的单元。后来，Ahmad等人[12]提出了三维弹性体的退化壳元，此单元虽然有很多优点，但退化成薄壳易产生剪切与薄膜闭锁，当然对加肋也有类似结果。文献[9]在分析水工压力管道时，提出了半解析方法，但对肋的处理有待探讨。实际工程上，加肋由于受到围岩及混凝土在垂直肋所在平面方向的约束，一般不易发生侧移失稳变形，而仅在肋轴线形成的平面内变形。同时，不同工程的加肋截面不同，有工字型、槽形、角形等，而仅收稿日期：2004-01-18基金项目：国家自然科学金资助项目(50079005)作者简介：孟闻远(1965-)，男，河南郾城人，博士生，教授，研究方向为数值计算及结构分析等。E-mail：[e-mail]水利学报2005年7月SHUILIXUEBAO第36卷第7期2仅用板，没有通用性。作者认为在计算模型上加肋压力管道应看成是曲梁与柱壳组合体，肋与壳协同工作，水工压力管道加肋常有较高的尺寸，肋宜看成厚曲梁，而壳体部分一般为薄壳，考虑几何非线性因素。这种模型有类似结构的一般性。又因为水工压力管道一般不可避免存在初始几何缺陷，属极值点失稳类型，所以一旦失稳开始就意味着变形迅速扩大，并迅速导致破坏，故本文不作后屈曲材料非线性考虑，这比较有利于水工压力管道失稳破坏的控制。鉴于此，本文将在计算模型、计算方法、试验验证上作深入研究。1加肋柱壳应变状态分析如将肋看成厚曲梁，就必须放弃Kirchhoff假设，对剪切变形单独考虑。其实，有限元方法对厚梁、厚板、厚壳的处理是方便的，但有限元不易构造高阶的位移模式，使得这些厚的结构体变薄时产生闭锁现象，得出虚假结论，尽管有缩减积分、杂交模型等方法来处理，但始终不令人满意。本文采用无单元法来处理厚曲梁是因为考虑剪切变形时，无单元法可以构造高阶的完备的多项式，注意各位移分量之间的关系，可以使由厚变薄的曲梁消除剪切及薄膜闭锁，因而对厚、薄曲梁乃至直梁具有通用性。处理厚曲梁的无单元技术可以推广到厚板、厚壳中，可以像肋一样得到适应厚、薄壳分析的一般性理论方法。只是限于本文工程实际及稳定性分析的针对性，这里不用厚壳而针对薄壳进行分析。无单元技术对壳体结构的描述与分析不像有限元法那样受到局限，可以发挥可构造高阶连续形函数的优点，不必顾虑协调性，避开了有限元法分析壳体时的困难，且自由度少，列式简便，本文提出的构造新的形函数的办法，运算量少，边界条件易处理。1.1肋的应变状态分析取图1所示一段曲梁，放在坐标系xoy中，建立a1a2a3正交坐标活动标架，设AB为深曲梁且只在xoy面内变形。x=Rcos(S/R),y=Rsin(S/R),z=z,a1=t,a2=s,a3=z。中线上一点C用矢量表示为210)/sin()/cos(eRSReRSRrm+=(1)中线上的法线矢量表示为210)/sin()/cos(eRSeRSnm+=(2)图1厚曲梁示意曲梁上的任一点可表示为)()()0(00stnsrrmmA+=(3)式中：s、t为活动标架坐标参量。沿a2方向基矢量为水利学报2005年7月SHUILIXUEBAO第36卷第7期32120200cossin||||eRseRsararamm+−=∂∂∂∂=(4)曲线坐标上基矢量gi为33020202020101,1,egaRtantarargnargAA=+=∂∂+∂∂=∂∂==∂∂=(5)两坐标体积分转换关系为()1/,132+=×⋅==Rtggggdzdtdsgdv，梁上点在变形后的位置()[]()312)0(00)/(,zgwggtutTRwnatuuurrmA++++=++=+=θθ(6)式中：θ为剪应变引起的法线转角。因仅在xoy面内考虑曲梁变形，故z不予考虑。而[]()+=10001/00012Rtgij(7)设u=uigi,令变形后矢量：Gi=r,I,Gij=Gi·Gj。由张量分析定义，应变为())||||(21)||(2121jkilklijkjjkikjkikijjiijijijuuguguguuuugGe++=++=−=(8)式(8)为任意圆弧状深曲梁的非线性应变公式，可适用于其它工程问题的大变形分析，对之进行显式化，不计n0方向应变w,t等，有()RuwrtRRtuwRwtuRtstsssssss−+==+++++++=θεθθεε,122,,2,,,22221211（9）本文水工压力管道加肋S方向位移u=0，同时将上述分解成线性与非线性部分，为{}{}{}++++++=+==0212112,2,,,ssssRNRLsRtRtRwwRwtRtrtsθθθεεεε(10)因加劲肋相对于壳厚高度较大，故肋在其平面内刚度较大，令｛ε｝RN=0,同时在失稳过程中不计其几何刚度[Kσ]R，只计线性刚度[KL]R。1.2柱壳应变状态分析本文推导了薄壳任意初始几何缺陷的非线性几何方程。可退化出无缺陷、无水利学报2005年7月SHUILIXUEBAO第36卷第7期4几何非线性等任何形态的壳。对柱壳省略高阶微量后，为[]∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂−∂∂−=ywwRywRy(11)简记{}{}{}sNsslεεε++0上述三项分为线性项、缺陷项及非线性项。对第二、第三项任意取舍以反应不同的几何变形状态。为便于消除加劲肋的剪切闭锁，需分析加劲肋的内力虚功方程，找出t+R→0时，消除剪切与薄膜变形能的内在机制，为此用与正交曲线坐标重合的局部笛卡尔坐标系ei来衡量各物理量，便于找出本构关系，设ui是在ei中位移，则(无求和约定),,1,ijiiiiijijiiiijiiiigggguguσσεε===因ijijijijδεσδεσ=,所以()dsdtggGKgGkgEwvijijextR22212122121222222222δεεδεεδεεδεσδ++==∫∫∫dsdtrrRtRGKRtREbtstsss∫∫+++=δδεε3()()()dsdtEtwwGKRwRwEbRtssss∫∫++++→,,2,,)(0/δθθθδθδ（12）式中：b为梁宽在最小能量函数式中，系数相当于罚因子，作用于剪切与薄膜变形能。有关系：EGKEt2，弯曲梁变薄变直时，即t/R→0，剪切与薄膜闭锁消失，则应使γts=w,s+θ=0,εm=w/R=0，显然，R→∝时w/R→0可以实现。而关键是要w,s+θ=0，即其位移模式是用多项式表达位移模式，则W须比θ高一阶，为保持θ的一阶连续性，由式(9)与式(12)知，θ至少为2阶，而w为3阶，即w与θ的多项式阶数可分别表述为P及P+1阶(P≥2)。P阶数高，列式复杂些，而闭锁消失。这是构造厚曲梁位移模式的内在依据。值得强调的是它可以推广到厚板、厚壳中。为了消除肋闭锁现象及便于薄壳分析，本文采用无单元技术位移模式。这是因为有限元在处理加肋壳时形式复杂，不易构造高阶完备的位移单元，导致一般厚肋(厚壳也是如此)变薄时无法消除闭锁，进而产生错误结果，而无单元技术仅用节点，易于构造高阶的位移模式，这对厚肋与薄壳体水利学报2005年7月SHUILIXUEBAO第36卷第7期5都具有重要意义。为此，受无单元Galerkin法常用的移动最小二乘技术[13]的启发，基于Shepard插值及泰勒多项式展开，构造了新的位移模式[14]。这个位移模式既克服了移动最小二乘技术无过点拟合的缺点，而且也不需因为求位移模式系数而大量求逆，又便于边界条件处理。在文献[14]中，将f(x、y)退化到一维(关于x=s)状态即可描述加劲肋的位移wP(s)，同时将一维状态的多项式降一阶，可构造剪切变形θ(s)=θP-1(s)，由此便可消除剪切闭锁与薄膜闭锁，令：s=x=φR,则()(){}[]{}fNfffysNysNysNysfyswTmm===LL2121,)],(),(),,([,,(13)式(13)降到一维状态()()()()[]{}[]{}fNfffNsNsNswswTmmP===LL2121,,(14)w(s)再降一阶构造()()()()[]{}[][]θθθθθθqsqsqsqssTmmP===−LL21211,)(,(15)上述位移均有过点插值性质，边界条件易于处理，且注意加肋处同一法线上的壳及肋中线上都布点，且二点的法向位移相同，则有，{}{}ff⊆。由此可将肋壳的几何方程记成{}[]{}{}[]{}{}{}{}[][]{}{}fBBBfBsnsLsNsLsRRR+=+=′==εεεδθε;(16)2离散方程的实现注意将上述肋壳的位移项量扩充到统一的总向量{}=fθδ,且注意各相应[B]矩阵的扩充，则由变分原理可导