无穷级数(习题及解答)

第十一章无穷级数§级数的概念、性质一、单项选择题1.若级数1nnaq收敛(a为常数)，则q满足条件是()．(A)1q；(B)1q；(C)1q；(D)1q．答(D)．2.下列结论正确的是()．(A)若lim0nnu，则1nnu收敛；(B)若1lim()0nnnuu，则1nnu收敛；(C)若1nnu收敛，则lim0nnu；(D)若1nnu发散，则lim0nnu.答(C)．3.若级数1nnu与1nnv分别收敛于12,SS，则下述结论中不成立的是()．(A)121()nnnuvSS；(B)11nnkukS；(C)21nnkvkS；(D)112nnnuSvS．答(D).4.若级数1nnu收敛，其和0S，则下述结论成立的是()．(A)1()nnuS收敛；(B)11nnu收敛；(C)11nnu收敛；(D)1nnu收敛.答(C).5.若级数1nna收敛，其和0S，则级数121()nnnnaaa收敛于()．(A)1Sa；(B)2Sa；(C)12Saa；(D)21Saa．答(B).6.若级数1nna发散，1nnb收敛则()．(A)1)(nnnba发散；(B)1)(nnnba可能发散，也可能收敛；(C)1nnnba发散；(D)122)(nnnba发散.答(A).二、填空题1.设1a，则0().nna答：11a.2.级数0(ln3)2nnn的和为．答：21ln3.3.级数0(221)nnnn，其和是．答：12.4.数项级数1)12)(12(1nnn的和为.答：12.5*.级数0212nnn的和为.答：3.三、简答题1．判定下列级数的敛散性(1)23238888(1)9999nn答：收敛.解：(2)11113693n答：发散.解：(3)311113333n答：发散.解：(4)232333332222nn答：发散.解：(5)22331111111123232323nn答：收敛.解：§正项级数收敛判别法、P—级数一、单项选择题1.级数1nnu与1nnv满足0,(1,2,)nnuvn，则()．(A)若1nnv发散,则1nnu发散；(B)若1nnu收敛,则1nnv收敛；(C)若1nnu收敛,则1nnv发散；(D)若1nnu发散，则1nnv发散.答(D).2.若10,(1,2,)nann，则下列级数中肯定收敛的是()．(A)1nna；(B)11()nnnaa；(C)21nna；(D)1nna．答(C).3.设级数(1)12!nnnnn与(2)13!nnnnn，则()．(A)级数(1)、(2)都收敛；(B)级数(1)、(2)都发散；(C)级数(1)收敛，级数(2)发散；(D)级数(1)发散，级数(2)收敛．答(C).4.设级数(1)11nnn与(2)110!nnn,则().(A)级数(1)、(2)都收敛；(B)级数(1)、(2)都发散；(C)级数(1)收敛,级数(2)发散；(D)级数(1)发散,级数(2)收敛．答(D).5.下列级数中收敛的是()．(A)11(2)nnnn；(B)11sinnn；(C)1(1)31nnnn；(D)1121nn．答(A).6*.若级数22116nn，则级数211(21)nn().(A)24;(B)28;(C)212;(D)216.答(B).7.设1nnu与1nnv均为正项级数,若1limnnnvu，则下列结论成立的是().(A)1nnu收敛,1nnv发散；(B)1nnu发散,1nnv收敛；(C)1nnu与1nnv都收敛,或1nnu与1nnv都发散.(D)不能判别.答(C).8.设正项级数1nnu收敛，则().(A)极限1limnnnuu1；(B)极限1limnnnuu1；(C)极限lim1nnnu；(D)无法判定.答(A)9.用比值法或根值法判定级数1nnu发散，则1nnu().(A)可能发散；(B)一定发散；(C)可能收敛；(D)不能判定.答(B)二、填空题1.正项级数1nnu收敛的充分必要条件是部分和nS.答：有上界.2.设级数121nnn收敛，则的范围是.答：32．3.级数1nnu的部分和21nnSn，则nu.答：2(1)nn.4.级数0212nnn是收敛还是发散.答：收敛.5.若级数11sinpnnn收敛，则p的范围是.答：0p.6.级数13!nnnnn是收敛还是发散.答：发散.三、简答题1.用比较法判定下列级数的敛散性：(1)2111nnn；答：发散.(2)11(1)(2)nnn；答：收敛.(3)1sin2nn；答：收敛.(4)11(0)1nnaa.答1a收敛;1a发散.2.用比值法判定下列级数的敛散性：(1)132nnnn；答：发散.(2)213nnn；答：收敛.解：(3)12!nnnnn；答：收敛.(4)11tan2nnn．答：收敛.解：3.用根值法判定下列级数的敛散性：(1)121nnnn；答：收敛.(2)11[ln(1)]nnn；答：收敛.解：解：(3)21131nnnn；答：收敛.解：(4)1nnnba其中,()naan，,,naba均为正数．答：当ba时收敛，当ba时发散，当ba时不能判断．§一般项级数收敛判别法一、单项选择题1.级数1nnu与1nnv满足,(1,2,)nnuvn,则()．(A)若1nnv收敛,则1nnu发散；(B)若1nnu发散,则1nnv发散；(C)若1nnu收敛,则1nnv发散；(D)若1nnv收敛,则1nnu未必收敛．答(D).2.下列结论正确的是()．(A)1nnu收敛，必条件收敛；(B)1nnu收敛，必绝对收敛；(C)1nnu发散，则1nnu必条件收敛；(D)1nnu收敛，则1nnu收敛．答(D).2.下列级数中，绝对收敛的是()．(A)1(1)31nnnn;(B)1211(1)nnn；(C)111(1)ln(1)nnn；(D)111(1)nnn．答(B).3.下列级数中，条件收敛的是()．(A)131(1)21nnnn；(B)112(1)3nnn；(C)1211(1)nnn；(D)111(1)2nnnn．答(A).4.设为常数，则级数21sin1nnnn().(A)绝对收敛；(B)条件收敛；(C)发散；(D)敛散性与的取值有关．答(C).5.设),3,2,1()11ln(cosnnnan，则级数().(A)1nna与12nna都收敛.(B)1nna与12nna都发散.(C)1nna收敛，12nna发散.(D)1nna发散，12nna收敛.答(C).6.设),3,2,1(10nnan,则下列级数中肯定收敛的是().(A)1nna.(B)1)1(nnna.(C)2lnnnna.(D)22lnnnna.答(D).7.下列命题中正确的是().(A)若12nnu与12nnv都收敛,则21)(nnnvu收敛.(B)若1nnnvu收敛,则12nnu与12nnv都收敛.(C)若正项级数1nnu发散,则nun1.(D)若),3,2,1(nvunn,且1nnu发散,则1nnv发散.答(A).二、填空题1.级数11(1)nnn绝对收敛，则的取值范围是．答：1.2.级数11sin2nnn条件收敛，则的取值范围是．答：01.3.级数20nna收敛，则0(1)nnnan是条件收敛还是绝对收敛．答：绝对.收敛三、简答题1.判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛(1)111(1)nnn；答：.条件收敛解：(2)111(1)3nnnn；答：.绝对收敛解：(3)21sin(1)nnn；答：.绝对收敛解：(4)111(1)32nnn；答：.绝对收敛解：(5)111(1)ln(1)nnn；答：.条件收敛解：(6)2112(1)!nnnn答：.发散解：§幂级数收敛判别法一、单项选择题1.幂级数1nnxn的收敛区间是()．(A)[1,1]；(B)(1,1)；(C)[1,1)；(D)(1,1]．答(C).2.幂级数1(1)(1)2nnnnxn的收敛区间是()．(A)[2,2]；(B)(2,2)；(C)[2,2)；(D)(2,2]．答(D).3.幂级数2213nnnxn的收敛半径是().(A)3R；(B)3R；(C)13R；(D)13R．答(B).（A）(C)（B）(D)4.若级数1)2(nnnxC在4x处是收敛的，则此级数在1x处().(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)收敛性不能确定．答(C).5.若级数1)2(nnnxC在4x处是收敛的，则此级数在1x处().(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)收敛性不能确定．答(D).6．若幂级数nnnxa)1(0在1x处条件收敛，则级数0nna().(A)条件收敛；(B)绝对收敛；(C)发散；(D)敛散性不能确定.答(B).二、填空题1.幂级数21nnxn的收敛域是．答：[1,1].2.幂级数2123nnnnxnn的收敛域是．答：11,.333.幂级数1211(1)(21)!nnnxn的收敛半径R，和函数是．答：,sin.Rx4.幂级数20(1)(2)!nnnxn的收敛半径R，和函数是．答：,cos.Rx5.设0nnnax的收敛半径为R，则20nnnax的收敛半径为．答：.R6.设幂级数0nnnax的收敛半径为4，则210nnnax的收敛半径为．答：2.7.幂级数10(23)(1)21nnnxn的收敛域是.答：(1,2].8.幂级数02)1(nnnxa在处2x条件收敛，则其收敛域为.答：]2,0[.一、简答题1.求下列幂级数的收敛域．(1)1nnnx；答：(1,1).(2)121(1)nnnxn；答：[1,1].(3)13nnnxn；答：[3,3)．(4)2121nnnxn；答：11,22．(5)1(5)nnxn;答：[4,6).(6)211(1)21nnnxn．答：[1,1].2.用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数．(1)11nnnx；答：21(),(1,1)(1)Sxxx．解：(2)21121nnxn．答：11()ln,(1,1)21xSxxx．解：3*.求级数112nnn的和．答：2ln2.解：§函数展开成幂级