数学建模美国赛叶子的重量

1/182012ACassifyLeafShapeandEstimateforLeafMassAbstract本文主要从四方面建立模型解决问题。针对第一问我们主要应用相关聚类分析，首先从24个方面对树木进行一级聚类，然后针对聚类后的树木类别再分别从8个方面对该样本树木的树叶进行二级聚类分析，这样我们便从数学角度说明了叶子为什么会具有各种形状。针对第二问我们主要应用叶序和叶镶嵌理论研究叶子的分布和叶子形状之间的联系，根据前人已经证明了的植物的叶片在其实际的镶嵌角下，覆盖面积最大，达到一个最大曝光率的生长模式这一结论，我们通过网格数计算出下层树叶偏转不同角度后它的光合作用面积，在计算出总的光合作用曝光率，从而求出最佳曝光率,根据最佳的面积曝光率对比树叶的排列，二者存在相关性。针对第三问，主要研究树形与叶形的相关性，在这里我们指定3个指数，分别就叶形指数1、2和树形指数进行最小二乘法的函数回归，研究结果发现二者呈现负相关的趋势。针对第四问，在前面我们已经对叶子的形状进行了分类，故在建立面积估算的模型时，我们能找到一个具有代表性的叶子进行分析，同时我们考虑到同一棵树叶子的年龄结构，密度，大小的因素，建立了求单片叶片质量的权重函数，然后主要采用插值和积分的思想，求出单片叶片的面积，然后利用基于L系统的植物建模改进方法估算参数，结合单片叶片的质量，从而计算出所有叶片的质量。Keywords：因子分析R型聚类分析线性回归叶序和叶镶嵌理论基于L系统的植物模型Problembackgrounds(introduction)叶片有多种多样的形状，例如针形、披针形、椭圆形、条形、扇形等。叶是树木暴露在空气中表面积最大的器官，和外界环境的接触面积也是最大的，因此，外界环境条件对叶片的形态结构有明显的影响，树木在进化过程中适应不同的生态环境，形成多种生态类型的叶。在气候干燥、土壤水分缺乏的干旱环境中，树木为了适应干燥的环境，旱生树木叶片的结构特点主要是朝着降低蒸腾和储藏水分两个方面发展。因此旱生树木的叶通常较小，以减少叶的蒸腾面积。树木的生长需要能量，获得能量主要是靠他们的叶子。树叶在白天进行光合作用，积累有机物。叶子数量的增加，有利于有机物的积累和树木的生长。但叶子数量的增加叶子重叠的阴影将会增大，叶面积指数降低，从而减小光合作用对有机物的积累并且增加了呼吸作用对于有机物的消耗。因此在长期影响下，树木会在叶子数量和叶面积指数两方面达到一种均衡。树叶的形状不全是为了使重叠2/18的树荫最小化，从而使日光照射最大化，而是为了达到最优化的目标。粗壮的枝能够承受较大的压力，离分支节点越远的分枝越短越细。分枝越细，能承受的叶子重量越小，叶片越小。离地面同一高度上同一等级分枝节间长度越大，树叶的形状越大。离地面低的分枝上的叶子与它同一等级的分枝的叶子相比，由于光照强度弱，故为了增强光合作用叶片较大。因此，树叶在树上和树枝上的分布会影响树叶的形状。基于这样的生物学背景（叶片与树木的关系密切相互影响），我们建立数学模型来完成下列题目：“一棵树的叶子有多重?”怎么能估计树的叶子（或者树的任何其它部分）的实际重量?怎样对叶子进行分类?建立一个数学模型来对叶子进行描述和分类。模型要考虑和回答下面的问题：·为什么叶子具有各种形状？·叶子之间要是将相互重叠的部分最小化，以便可以最大限度的接触到阳光吗？树叶的分布以及树干和枝杈的体积影响叶子的形状吗？·就轮廓来讲，叶形（一般特征）是和树的轮廓以及分枝结构有关吗？·你将如何估计一棵树的叶子质量？叶子的质量和树的尺寸特征（包括和外形轮廓有关的高度、质量、体积）有联系吗？)Problemanalysis通过阅读完题目后，我们将问题划分为四个小问题去解决：·对不同形状的叶子进行分类·研究叶子的分布和叶子形状之间的联系·研究树的轮廓和叶子的形状之间的联系·计算所有叶子的质量针对问题一，首先我们从生物学的角度考虑到，不同物种的树叶有多种多样的形状，是环境长期影响的结果，如果直接从叶结构的指标入手对叶形进行分类，过程将相当繁琐。在这里我们采用两次聚类，分别涉及到样本树木本身对叶形的影响和叶结构对树木的影响。我们首先就24个指标对样本树木进行分类，分析聚为一类的样本树木的叶片特点，然后针对每一类样本树木的叶片的8项指标进行二级聚类，根据聚类结果，我们进行分析总结；针对问题二和三，主要是从研究两方面事物的相关性入手，研究叶子的分布和叶子形状之间的联系时主要采用叶序和叶镶嵌理论；研究树的轮廓和叶子的形状之间的联系时，我们主要借助一些描述树的轮廓和叶子的形状的参数进行先处理后拟合，从而从图表中观察相关性；针对问题四，我们先从一个规范叶片入手，利用插值和积分求出单个叶片的面积，同时应用基于L系统的植物建模改进方法，然后分析相关系数来推算叶片的个数，从而计算出树叶的总质量。3/18Assumptions·在相同的环境影响下，同种树木的形态基本相似，即同一棵树的树叶只有大小的区别·在树木的生长过程中，外界营养供给充裕，每个腋芽都能正常生长，且侧枝没有死亡现象。·在树木的生长过程中，树木的分支角度在一定范围内变化。Symbolsdescription变量名称变量含义ijx第j株树的第i个性状的数据iX性状i在n个观测值中的平均数iS性状i在n个观测值中的离差R树形指数1r叶形指数12r叶形指数2pqr性状p与q之间的相关系数iA某种年龄结构下单片树叶的面积i某种年龄结构下树叶的密度Modeldesignandsolving·Model1:对树木的一级聚类和对树叶的二级聚类聚类原理说明：我们主要就有关树木的24个变量，对树木进行分类：首先我们先找到有关树木的几项参数：中央直径（mid-diameter），胸径（theDBH），树高(heightoftree)，树冠直径(crowndiameter)，树冠长度(Crownlength)，冠幅平面积(Crownarea)，树冠表面积(Crownsurfacearea)，树冠体积(Canopyvolume)，冠高比(Crownheight)，冠径比(Crowndiameterratio)，侧枝总数(Thetotalnumberofbranches)。根据调查材料，计算出各株样木的高径比（树高/胸径），胸高形率（中央直径/胸径），冠长（树高-枝下高），平均轮间距（冠长/枝轮数），枝条密度（侧枝4/18总数/冠长），侧枝长粗比（枝长/枝底径），相对枝径（枝底径/胸径），冠高比（树冠直径/树高），冠径比（树冠直径/胸径），并以树冠直径，计算冠幅面积；以圆锥体公式，计算树冠体积和树冠表面积。在聚类之前，由于24个变量，变量维数较多，操作较为复杂，因此，我们先进行因子分析，对24个变量进行降维处理，简便操作的同时不影响聚类结果。下面我们根据这24个性状，用R型聚类法对所获数据进行聚类，原理如下：将n株样本树木的m个（m=24）性状数值表示为矩阵：mniixX)(ijx表示第j株树的第i个性状的数据令njijixnX11和21)(njiijiXxS分别表示性状i在n个观测值中的平均数和离差，则可将所有的ijx进行规范化转化，得：iiijijSXxS则相应的矩阵为：性状p与q之间的相关系数为：pqrkqnkkpaa1p,q=1.2……m相关矩阵为：mmrAARpqT)(=1.....................1...1...1321332312232111312mmmmmmrrrrrrrrrrrr由于相关系数是相似系数的一种，因此，可以从相关矩阵出发，作R型（变量）聚类分析。根据系统聚类原理，以pqr作为类间参数，先将m个性状各自看做一类，选择最相似的两类合并为一类（即合并pqr值最大的两个性状）。如此反复多次，直至所有性状全部聚为一类为止。那么，新的类间参数可由类平均法给出。其公式为：)(1)()()1(kBPBkABABAkGPrnrnnnr5/18同理，我们就有关树叶的八项指标进行二级聚类：根据上面样本树木的聚类结果，我们对聚成一类的样本树木的叶子形态从这八项指标进行聚类分析：纵横轴比（aspectratio），矩形度(rectangularity)，面积凹凸比(areaconvexity)，周长凹凸比(perimeterconvexity)，球状性(sphericity)，圆形度(circularity)，偏心率(eccentricity)，形状参数(formfactor)（该八项几何特征参数都具有旋转，平移和尺度不变性）根据这八项指标的聚类结果，很好的区分了叶子的形状。根据两次聚类结果，我们发现同类样本树木的叶片形状大体相似，说明树木本身的形态对着生树叶的形态有一定的影响，这一结论在生物学角度也是成立的；同时我们还发现，叶片本身的因素，例如叶脉密度，叶片长度，宽度等对叶片的形状也产生着不容忽视的影响。综上我们的模型分别从这两方面就叶片为何有不同的形状进行了论述。·Model2:叶序和叶镶嵌理论研究叶子的分布和叶子形状之间的联系叶序：叶在茎上排列的方式称为叶序。植物体通过一定的叶序，使叶均匀地、适合地排列，充分地接受阳光，有利于光合作用的进行。叶镶嵌：同一个枝上的叶不论是那一种叶序，叶总是不相重叠而成镶嵌状态进行排列的现象。通过王科等对32科64种被子植物分析，得到了叶序和叶镶嵌的关系]8[。我们选取其中具有代表性的（三叶轮生夹竹桃）一组如下：叶序代表植物相邻角镶嵌角轮生夹竹桃120°60°相邻角：螺旋周的数目/叶循环中的叶数；镶嵌角：360°/叶循环中的叶数。我们经过对树叶形状的分析，假设一棵树上的树叶形状参数基本一致，只是大小的区分问题。文献[9]的方法，已经证明了植物的叶片在其实际的镶嵌角下，覆盖面积最大，达到一个最大曝光率的生长模式。下图是他们的一个算法的图形，通过网格数计算出下层树叶偏转不同角度后它的光合作用面积，在计算出总的光合作用曝光率。这是示意图：6/18Figure1]9[这是曝光率图：Figure2]9[第一层，第二层往往形成了一个极大的曝光生长模式，第三层在若以第二层为基准，应该继续旋转60°，此时则与第一层重叠（或者说第一层遮住了第三层），所以树木为了生长必须增大叶的表面积去接受阳光，也就是产生了比例大的树叶。但此时的曝光量是否最佳就成了我们要研究的问题了。我们对其方法进行改进，将第一层下的树叶的面积逐渐增大（观测实物可发现树叶的大小从上到下依次变大），观测是否相同树木上的不同大小树叶的组合达到一个曝光率最大的问题。下图是我们的示意图：Figure37/18再通过计算面积曝光率可以容易得到此时的排列方式最优。如下Figure4所以，这也就解释了为什么树木自身的分层会导致树叶的大小不同。·Model3:研究树的轮廓和叶子的形状之间的联系首先我们定义了树形指数R和叶形指数1r和2r：树形指数R=CrowntreeofHeight1511151iirr2r=widthlength根据这些指数，我们研究两两变量间的相关性。分别取1r，2r作为因变量，R作为自变量，利用最小二乘法进行一元线性回归，通过观察P值的大小（与05.0进行比较），来判定拟合的优度。下面给出拟合好的函数，并检验了其准确性。Table1树编号树形指数R叶形指数1r2r11.6430.9780.96821.4491.0020.99831.4041.1121.10941.7001.0141.01551.5651.0161.00761.6441.0231.03371.8161.0091.0098/1881.4831.1521.14991.5771.0041.004101.6740.8990.899111.5601.0021.002121.5740.9640.954131.6301.0321.042141.5881.0451.049151.5861.0221.011根据表1的数据分别就R与1r，R与2r进行相关性分析，在这里