高考三角函数专题(含答案)

1高考专题复习三角函数专题模块一——选择题一、选择题：(将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．(2010·天津)下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点()A．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变解析：观察图象可知，函数y＝Asin(ωx＋φ)中A＝1，2πω＝π，故ω＝2，ω×－π6＋φ＝0，得φ＝π3，所以函数y＝sin2x＋π3，故只要把y＝sinx的图象向左平移π3个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的12即可．答案：A2．(2010·全国Ⅱ)为了得到函数y＝sin2x－π3的图象，只需把函数y＝sin2x＋π6的图象()A．向左平移π4个长度单位B．向右平移π4个长度单位C．向左平移π2个长度单位D．向右平移π2个长度单位解析：由y＝sin2x＋π6――→x→x＋φy＝sin2(x＋φ)＋π6＝sin2x－π3，即2x＋2φ＋π6＝2x－π3，解得φ＝－π4，2即向右平移π4个长度单位．故选B.答案：B3．(2010·重庆)已知函数y＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则()A．ω＝1，φ＝π6B．ω＝1，φ＝－π6C．ω＝2，φ＝π6D．ω＝2，φ＝－π6解析：依题意得T＝2πω＝47π12－π3＝π，ω＝2，sin2×π3＋φ＝1.又|φ|π2，所以2π3＋φ＝π2，φ＝－π6，选D.答案：D4．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]上的图象如图所示，那么ω＝()A．1B．2C.12D.13解析：由函数的图象可知该函数的周期为π，所以2πω＝π，解得ω＝2.答案：B5．已知函数y＝sinx－π12cosx－π12，则下列判断正确的是()A．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是π12，0B．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是π12，03C．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是π6，0D．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是π6，0解析：∵y＝sinx－π12·cosx－π12＝12sin2x－π6，∴T＝2π2＝π，且当x＝π12时，y＝0.答案：B6．如果函数y＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－π8对称，则实数a的值为()A.2B．－2C．1D．－1分析：函数f(x)在x＝－π8时取得最值；或考虑有f－π8＋x＝f－π8－x对一切x∈R恒成立．解析：解法一：设f(x)＝sin2x＋acos2x，因为函数的图象关于直线x＝－π8对称，所以f－π8＋x＝f－π8－x对一切实数x都成立，即sin2－π8＋x＋acos2－π8＋x＝sin2－π8－x＋acos2－π8－x即sin－π4＋2x＋sinπ4＋2x＝acosπ4＋2x－cos－π4＋2x，∴2sin2x·cosπ4＝－2asin2x·sinπ4，即(a＋1)·sin2x＝0对一切实数x恒成立，而sin2x不能恒为0，∴a＋1＝0，即a＝－1，故选D.解法二：∵f(x)＝sin2x＋acos2x关于直线x＝－π8对称．∴有f－π8＋x＝f－π8－x对一切x∈R恒成立．特别，对于x＝π8应该成立．将x＝π8代入上式，得f(0)＝f－π4，4∴sin0＋acos0＝sin－π2＋acos－π2∴0＋a＝－1＋a×0.∴a＝－1.故选D.解法三：y＝sin2x＋acos2x＝1＋a2sin(2x＋φ)，其中角φ的终边经过点(1，a)．其图象的对称轴方程为2x＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ2＋π4－φ2(k∈Z)．令kπ2＋π4－φ2＝－π8(k∈Z)．得φ＝kπ＋3π4(k∈Z)．但角φ的终边经过点(1，a)，故k为奇数，角φ的终边与－π2角的终边相同，∴a＝－1.解法四：y＝sin2x＋acos2x＝1＋a2sin(2x＋φ)，其中角φ满足tanφ＝a.因为f(x)的对称轴为y＝－π8，∴当x＝－π8时函数y＝f(x)有最大值或最小值，所以1＋a2＝f－π8或－1＋a2＝f－π8，即1＋a2＝sin－π4＋acos－π4，或－1＋a2＝sin－π4＋acos－π4.解之得a＝－1.故选D.答案：D评析：本题给出了四种不同的解法，充分利用函数图象的对称性的特征来解题．解法一是运用了方程思想或恒等式思想求解．解法二是利用了数形结合的思想求解，抓住f(m＋x)＝f(m－x)的图象关于直线x＝m对称的性质，取特殊值来求出待定系数a的值．解法三利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴是方程ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)的解x＝kπ＋π2－φω(k∈Z)，然后将x＝－π8代入求出相应的φ值，再求a的值．解法四利用对称轴的特殊性质，在此处函数f(x)取最大值或最小值．于是有f－π8＝[f(x)]max或f－π8＝[f(x)]min.从而转化为解方程问题，体现了方程思想．由此可见，本题体现了丰富的数学思想方法，要从多种解法中悟出其实质东西．5模块二——填空题二、填空题：(把正确答案填在题后的横线上．)7．(2010·福建)已知函数f(x)＝3sinωx－π6(ω0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈0，π2，则f(x)的取值范围是________．解析：∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin2x－π6，∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤5π6，∴－12≤sin2x－π6≤1，∴－32≤3sin2x－π6≤3，即f(x)的取值范围为－32，3.答案：－32，38．设函数y＝cos12πx的图象位于y轴右侧所有的对称中心从左依次为A1，A2，…，An，….则A50的坐标是________．解析：对称中心横坐标为x＝2k＋1，k≥0且k∈N，令k＝49即可得．答案：(99,0)9．把函数y＝cosx＋π3的图象向左平移m个单位(m0)，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是________．解析：由y＝cos(x＋π3＋m)的图象关于y轴对称，所以π3＋m＝kπ，k∈Z，m＝kπ－π3，当k＝1时，m最小为23π.答案：23π10．定义集合A，B的积A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．已知集合M＝{x|0≤x≤2π}，N＝{y|cosx≤y≤1}，则M×N所对应的图形的面积为________．解析：如图所示阴影面积可分割补形为ABCD的面积即BC×CD＝π·2＝2π.6答案：2π模块三——解答题三、解答题：(写出证明过程或推演步骤．)11．若方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数解x1、x2，求a的取值范围，并求x1＋x2的值．分析：设函数y1＝3sinx＋cosx，y2＝a，在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，应用数形结合解答即可．解：设f(x)＝3sinx＋cosx＝2sinx＋π6，x∈[0,2π]．令x＋π6＝t，则f(t)＝2sint，且t∈π6，13π6.在同一平面直角坐标系中作出y＝2sint及y＝a的图象，从图中可以看出当1＜a＜2和－2＜a＜1时，两图象有两个交点，即方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数解．当1＜a＜2时，t1＋t2＝π，即x1＋π6＋x2＋π6＝π，∴x1＋x2＝2π3；当－2＜a＜1时，t1＋t2＝3π，即x1＋π6＋x2＋π6＝3π，∴x1＋x2＝8π3.综上可得，a的取值范围是(1,2)∪(－2,1)．当a∈(1,2)时，x1＋x2＝2π3；当a∈(－2,1)时，x1＋x2＝8π3.7评析：本题从方程的角度考查了三角函数的图象和对称性，运用的主要思想方法有：函数与方程的思想、数形结合的思想及换元法．解答本题常见的错误是在换元时忽略新变量t的取值范围，仍把t当成在[0,2π]中处理，从而出错．12．(2010·山东)已知函数f(x)＝12sin2xsinφ＋cos2xcosφ－12sinπ2＋φ(0φπ)，其图象过点π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在0，π4上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝12sin2xsinφ＋cos2xcosφ－12sinπ2＋φ(0φπ)，所以f(x)＝12sin2xsinφ＋1＋cos2x2cosφ－12cosφ＝12sin2xsinφ＋12cos2xcosφ＝12(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)＝12cos(2x－φ)，又函数图象过点π6，12，所以12＝12cos2×π6－φ，即cosπ3－φ＝1，又0φπ，所以φ＝π3.(2)由(1)知f(x)＝12cos2x－π3，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝12cos4x－π3，因为x∈0，π4，所以4x∈[]0，π，因此4x－π3∈－π3，2π3，故－12≤cos4x－π3≤1.所以y＝g(x)在0，π4上的最大值和最小值分别为12和－14.13.（2009天津卷理）在⊿ABC中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA8(I)求AB的值：(II)求sin24A的值本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，ABCCABsinsin，于是AB=522sinsinBCBCAC（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=5522222ACABBDACAB于是sinA=55cos12A，从而sin2A=2sinAcosA=54,cos2A=cos2A-sin2A=53所以sin(2A-4)=sin2Acos4-cos2Asin4=10214.（2009广东地区高三模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c=7，且.272cos2sin42CBA(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积.(1)解：∵A+B+C=180°由272cos2cos4272cos2sin422CCCBA得…………1分∴27)1cos2(2cos142CC………………3分整理，得01cos4cos42CC…………4分解得：21cosC……5分∵1800C∴C=60°………………6分（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab…………7分∴abba3)(72………………8分由条件a+b=5得7=25－3ab……9分ab=6……10分9∴23323621sin21CabSABC…………12分15.（广东地区2008年01月份期末试题）已知：函数mxxxf2sin2)sin(3