方法14-构造函数法解决导数问题

方法14构造函数法解决导数问题一、多选题1．函数ln1xxkfxex在0,上有唯一零点0x，则（）A．001xxeB．0112xC．1kD．1k【答案】ABC【分析】由0fx，可得出lnxxkxexe，令xuxxe，0x，利用导数得出函数ux在0,上为增函数，再令lngttt，其中0t，利用导数分析函数gt在0,上的单调性，可求得1k，可判断ACD选项的正误，再结合函数ux的单调性可判断B选项的正误.【解析】由0fx，可得ln0xxexxk，即lnxxkxexe，令xuxxe，其中0x，则10xuxxe，所以，函数xuxxe在区间0,上单调递增，则00uxu，令lngttt，其中0t，111tgttt.当01t时，0gt，此时函数gt单调递减；当1t时，0gt，此时函数gt单调递增.所以，min11gtg.若函数fx在0,上有唯一零点0x，则1k.所以，0001xuxxe，由于函数ux在0,上单调递增，1122eu，11ue，即0112uuxu，0112x，所以，ABC选项正确，D选项错误.故选：ABC.【小结】利用导数求解函数的零点个数问题，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程（或不等式）组求解，实现形与数的和谐统一.2．已知函数yfx在R上可导且01f，其导函数fx满足(1)()()0xfxfx，对于函数()()xfxgxe，下列结论正确的是（）A．函数gx在,1上为增函数B．1x是函数gx的极小值点C．函数gx必有2个零点D．2()(2)eefeef【答案】BD【分析】对函数()gx求导，求出单调区间和极值，可判断选项A，B；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项C；利用()gx在1,上为增函数，比较2g与ge的大小关系，判断出选项D．【解析】函数()()xfxgxe，则xfxfxgxe，当1x时，0fxfx，故()gx在1,上为增函数，A错误；当1x时，0fxfx，故()gx在,1单调递减，故1x是函数g(x)的极小值点，B正确；若10g，则()ygx有两个零点，若10g，则()ygx有一个零点，若10g，则()ygx没有零点，故C错误；()gx在1,上为增函数，则2gge，即22effeee，化简得2()(2)eefeef，D正确；故选：BD【小结】本题考查导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单调性比较大小，属于中档题．3．设定义在R上的函数fx满足2fxfxx，且当0x时，fxx.己知存在220111122xxfxxfxx，且0x为函数xgxeexa(,aRe为自然对数的底数)的一个零点，则实数a的取值可能是（）A．12B．2eC．2eD．e【答案】BCD【分析】先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可．【解析】令函数21()()2Txfxx，因为2()()fxfxx，22211()()()()()()()022TxTxfxxfxxfxfxx，()Tx为奇函数，当0x„时，()()0Txfxx，()Tx在,0上单调递减，()Tx在R上单调递减．存在0{|()(1)}xxTxTx…，得00()(1)TxTx…，001xx„，即012x„，()xgxeexa；1()2x„，0x为函数()ygx的一个零点；当12x„时，()0xgxeex„，函数()gx在12x„时单调递减，由选项知0a，取12axe，又0aeagee，要使()gx在12x„时有一个零点，只需使11022geea„，解得2ea…，a的取值范围为,2e，故选：BCD．【小结】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于中档题．4．已知函数fx的导函数为fx，若2fxxfxfxx对(0,)x恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（）A．(2)(1)2ffB．(2)(1)2ffC．(2)1(1)42ffD．(2)1(1)42ff【答案】BD【分析】先设2()()fxxgxx，()()fxhxx，0,x，对函数求导，根据题中条件，分别判断设()gx和()hx的单调性，进而可得出结果.【解析】设2()()fxxgxx，()()fxhxx，0,x，则243()12()()2()()fxxxfxxxfxfxxgxxx，2()()()xfxfxhxx.因为()2()fxxfxfxx对0,x恒成立，所以0gx，0hx，所以gx在0,上单调递减，hx在0,上单调递增，则12gg，12hh，即22(1)1(2)212ff，(1)(2)12ff即(2)1(2)(1)422fff.故选：BD.【小结】本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.5．已知函数fx的定义域为0,，导函数为'fx，'lnxfxfxxx，且11fee，则（）A．1'0feB．fx在1xe处取得极大值C．011fD．fx在0,单调递增【答案】ACD【分析】根据题意可设21ln2fxxxbx，根据11fee求b，再求fx判断单调性求极值即可.【解析】∵函数fx的定义域为0,，导函数为'fx，'lnxfxfxxx即满足2'lnxfxfxxxx∵2'fxxfxfxxx∴lnfxxxx∴可设21ln2fxxbx（b为常数）∴21ln2fxxxbx∵211111ln2bfeeeee，解得12b∴211ln22fxxxx∴112f，满足011f∴C正确∵22111lnln=ln10222fxxxx，且仅有1'0fe∴B错误，A、D正确故选：ACD【小结】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.6．若存在实常数k和b，使得函数Fx和Gx对其公共定义域上的任意实数x都满足：Fxkxb和Gxkxb恒成立，则称此直线ykxb为Fx和Gx的“隔离直线”，已知函数2fxxRx，10gxxx，2lnhxex（e为自然对数的底数），则（）A．mxfxgx在31,02x内单调递增；B．fx和gx之间存在“隔离直线”，且b的最小值为4；C．fx和gx之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是4,1；D．fx和hx之间存在唯一的“隔离直线”2yexe.【答案】ABD【分析】令mxfxgx，利用导数可确定mx单调性，得到A正确；设fx，gx的隔离直线为ykxb，根据隔离直线定义可得不等式组22010xkxbkxbx对任意,0x恒成立；分别在0k和k0两种情况下讨论b满足的条件，进而求得,kb的范围，得到B正确，C错误；根据隔离直线过fx和hx的公共点，可假设隔离直线为ykxkee；分别讨论0k、k0和0k时，是否满足ee0fxkxkx恒成立，从而确定2ke，再令2eeGxxhx，利用导数可证得0Gx恒成立，由此可确定隔离直线，则D正确.【解析】对于A，21mxfxgxxx，212mxxx，3321221mxxx，当31,02x时，0mx，mx单调递增，223333312422022mxm，mx在31,02x内单调递增，A正确；对于,BC，设fx，gx的隔离直线为ykxb，则21xkxbkxbx对任意,0x恒成立，即22010xkxbkxbx对任意,0x恒成立.由210kxbx对任意,0x恒成立得：0k.⑴若0k，则有0b符合题意；⑵若k0则有20xkxb对任意,0x恒成立，2yxkxb的对称轴为02kx，2140kb，0b；又21ykxbx的对称轴为02bxk，2240bk；即2244kbbk，421664kbk，40k；同理可得：421664bkb，40b；综上所述：40k，40b，B正确，C错误；对于D，函数fx和hx的图象在xe处有公共点，若存在fx和hx的隔离直线，那么该直线过这个公共点.设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为yekxe，即ykxkee，则ee0fxkxkx恒成立，若0k，则2e00xx不恒成立.若k0，令20uxxkxkeex，对称轴为02kx2uxxkxkee在0,e上单调递增，又0ueekekee，故k0时，ee0fxkxkx不恒成立.若0k，ux对称轴为02kx，若0ux恒成立，则223420kkeeke，解得：2ke.此时直线方程为：2yexe，下面证明2hxexe，令222lnGxexehxexeex，则2exeGxx，当xe时，0Gx；当0xe时，0Gx；当xe时，0Gx；当xe时，Gx取到极小值，也是最小值，即min0GxGe，20Gxexehx，即2hxexe，函数fx和hx存在唯一的隔离直线2yexe，D正确.故选：ABD.【小结】本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解隔离直线的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题；难点在于能够对直线斜率范围进行准确的分类讨论，属于难题.7．已知定义在0,2上的函数()fx，()fx是()fx的导函数，且恒有cos()sin()0xfxxfx成立，则()A．264ffB．363ffC．363ffD．2364ff【答案】CD【分析】根据题意，令()()cosfxgxx，0,2x