人教课标版高中数学选修4-5：《基本不等式》教案-新版

1.2课时2基本不等式一、教学目标（一）核心素养通过学习重要不等式222abab推导出基本不等式，即两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，进而推广到三个正数的情形。使学生掌握从旧知到新知，再推广的思想方法．（二）学习目标1.学会推导并掌握均值不等式定理；2.能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式.3．能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题.（三）学习重点均值不等式定理的证明及应用.（四）学习难点等号成立的条件及解题中的转化技巧.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第5页至第9页，填空：①22ab2ab，当且仅当时，等号成立，其中,ab；②2abab，当且仅当时，等号成立，其中,ab；③3abc，当且仅当时，等号成立，其中,,abc；（2）想一想：（1）中三个结论等号成立条件有什么区别？它们有什么应用？答：①中等号成立时，,abR；②③中等号成立时,(0,)ab.应用于求函数的最值.2．预习自测（1）两个正数的算术平均数它们的几何平均数.A．大于B．小于C．不大于D．不小于【知识点】基本不等式【解答过程】两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数【思路点拨】掌握基本不等式【答案】D．（2）若6xy，则xy的最大值为（）A．6B．7C．8D．9【知识点】基本不等式【解题过程】由2()2xyxy，得26()2xy，即9xy，当且仅当3xy时，等式成立.【思路点拨】注意使用基本不等式时的条件【答案】D．（3）函数2sin,(0,]sin2yxxx的最小值为（）A．22B．3C．4D．5【知识点】基本不等式【解题过程】2sin22sinyxx，当且仅当2sinsinxx即sin2x取等号，不满足sin[0,1]x，当2x时，min3y.【思路点拨】注意使用基本不等式时的取得条件【答案】B（4）已知三个正数,,abc满足27abc，则24abc的最小值为（）A．21B．18C．15D．12【知识点】三个正数的均值不等式.【解题过程】由32483abcabc，324321618abc，当且仅当24abc即36,3,2abc取等号.【思路点拨】【答案】B(二)课堂设计1.知识回顾（1）比较两个实数的大小可用作差比较法.（2）0;0;0abababababab（3）运用不等式的基本性质时要注意两边同乘一个数时的正负.2．问题探究探究一认识基本不等式●活动①重要不等式定理1如果,abR，那么222abab，当且仅当ab时，等号成立.证明：由作差比较法得，222()2()0ababab，且当且仅当ab时，等式成立.几何解释：如果把实数,ab作为线段长度，那么可以这样ab解释定理1（以为例）如图，在正方形ABCD中，ABa；在正方形CEFG中，EFb.那么22ABCDCEFGSSab正方形正方形.矩形,BCGHJCDI的长均为a，宽均为b，它们面积之和为2BCGHJCDISSab矩形正方形以上两个矩形的公共部分为以边长为b的正方形，其面积为2b，所以上述两个矩形面积之和2ab就等于图中阴影部分的面积，它不大于两个正方形的面积之和，即222abab，当且仅当ab时，两个矩形成为两个正方形，阴影部分面积等于两个正方形面积之和，即222abab.【设计意图】认识重要不等式，回顾作差比较法．●活动②基本不等式将定理1作简单的恒等变形，就可以得到以下的基本不等式：定理2（基本不等式）如果,0ab，那么2abab，当且仅当ab时，等号成立.证明：因为22()()22abababab，所以2abab，当且仅当ab，即ab时，等号成立.几何解释：如图，CD是RtABC中斜边AB上的高，OC是斜边AB上的中线，,ADaBDb.于是，11()22OCABab.由RtDCA∽RtDCB，得2CDADBD，即CDab，易知，OCCD，且当且仅当,OD重合时OCCD，所以2abab，当且仅当ab时，等号成立.综上所述，基本不等式的几何意义是：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高.如果,ab都是正数，我们就称2ab为,ab的算术平均数，ab为,ab的几何平均数.于是，基本不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数.【设计意图】通过对基本不等式的证明，加深对基本不等式的理解，突破重点．●活动③了解基本不等式的使用步骤基本不等式可以用证明不等式以及求某些代数式的最值，使用时要注意：“一正”：使用基本不等式的两个数或式必须是正数；“二定”：求最值时，使用基本不等式的两个数或式应该和或积为定值；“三相等”：要验证能否取得等号，若能，则所求为最值，否则，不是，可参考双勾函数的图像求最值.由基本不等式2abab，得2()2,4abababab：（1）当积为定值时，和有最小值，为2ab；（2）当和为定值时，积有最大值，为2()4ab.【设计意图】通过对基本不等式的分析，了解基本不等式的用法.探究二三个正数的均值不等式●活动①认识三个正数的均值性质类比基本不等式的形式，我们猜想，对于3个正数,,abc，可能有：如果,,abcR，那么33abcabc，当且仅当abc时，等号成立.如何证明这个猜想呢？仍然类比基本不等式的推出过程，我们先证明：已知,,abcR，那么3333abcabc，当且仅当abc时，等号成立.证明：因为33332233()333abcabcabababcabc332222()333()(()())3()abcabababcabcababccababc22222()(()()3)()()abcababccababcabcabacbc2221()(()()())02abcabbcac所以3333abcabc，当且仅当abc时，等号成立.对上述结果作简单的恒等变形，就可以得到定理3如果,,abcR，那么33abcabc，当且仅当abc时，等号成立.这个不等式可以表述为：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.事实上，基本不等式可以推广到一般的情形，对于n个正数12,,,naaa，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即1212nnnaaaaaan，当且仅当12naaa时，等号成立.【设计意图】通过对三个正数均值不等式的认识，为后面的运用做好铺垫．探究三均值不等式的应用●活动①利用基本不等式求最值例1求函数12(0)yxxx的最小值.【知识点】基本不等式【解题过程】解：1122222yxxxx，当且仅当12xx，即22x时取等号，所以函数12(0)yxxx的最小值为22.【思路点拨】掌握利用基本不等式求函数最值【答案】22同类训练求函数12(0)yxxx的最大值.【知识点】基本不等式【解题过程】解：1112((2)())22()22yxxxxxx，当且仅当12xx，即22x时取等号，所以函数12(0)yxxx的最大值为22.【思路点拨】注意使用基本不等式求函数最值时的条件【答案】22同类训练求函数12(1)yxxx的最小值.【知识点】基本不等式【数学思想】数形结合思想【解题过程】由双勾函数12(1)yxxx的图像可知，函数在[1,)上单调递增，所以12(1)yxxx的最小值为3.【思路点拨】由例1可知，使用基本不等式求此函数最值时，无法取等号，可利用双勾函数的图像求最值.【答案】3例2求函数14(1)1yxxx的最小值.【知识点】基本不等式，换元法【解题过程】法1：（配凑法）1144(1)4244811yxxxx，当且仅当14(1)1xx，即32x时取等号.法2：（换元法）令1(0)xtt，则114(1)442448ytttt，当且仅当14tt，即13,22tx时取等号.【思路点拨】配凑法与换元法实质相同，都要注意使用基本不等式的条件【答案】8同类训练求函数2449(1)1xxyxx的最小值.【知识点】基本不等式，换元法【解题过程】令1(0)xtt，则224(1)4(1)9449944ttttytttt23648，当且仅当94tt，即31,22tx时取等号.【思路点拨】与例2为同类型题目，可使用换元法，利用基本不等式.【答案】8同类训练求函数2254xyx的最小值.【知识点】基本不等式，换元法【数学思想】数形结合思想【解题过程】令24(2)xtt，则2112tyttt，当且仅当1t时取等号，不满足2t，由双勾函数图像可知，函数在[2,)单调递增，所以函数的最小值为52.【思路点拨】当类似基本不等式的类型不能取等号时，可考虑利用双勾函数图像.【答案】2【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用基本不等式求函数的最值．●活动②求含双变量的代数式的最值例3若236(0,0)xyxy，求以下代数式的最值:①xy的最大值；②213xy的最小值【知识点】基本不等式【解题过程】①23626xyxy，所以32xy,当且仅当233xy，即3,12xy时取等号；②2121112613()(23)(5)(524)3366362xyxyxyxyyx,当且仅当263xyyx，即22,3xy时取等号.【思路点拨】注意利用基本不等式求代数式的最值的方法【答案】①32②32同类训练已知211,,2mnmnR，求2mn的最小值.【知识点】基本不等式【解题过程】2142(2)()22(4)2(424)16nmmnmnmnmn，当且仅当4nmmn，即8,4mn时取等号.【思路点拨】掌握“1”的代换的应用【答案】16例4已知2234(0,0)32xyxyxy，求2xy的最大值.【知识点】基本不等式【解题过程】由223432xyxy，得23(2)532xyxy，所以223552(2)2()32222xyxyxy，即233(2)832xy，所以122xy，当且仅当11,48xy时取等号.【思路点拨】在“积”与“和”的混合关系中，要明确保留和变换的分别是哪一部分【答案】12同类训练已知0,0,228xyxyxy，求2xy的最小值.【知识点】基本不等式【解题过程】因为228xyxy，所以2(2)28(2)4xyxyxy，所以2(2)4(2)320xyxy，即(28)(24)0xyxy，因为0,0xy，所以24xy，当且仅当2xy，即2,1xy时取等号.【思路点拨】掌握利用基本不等式求“积”与“和”的最值.【答案】4【设计意图】通过对例题的讲解，掌握利用基本不等式求含双变量的代数式的最值．●活动③三个正数的均值不等式的应用例5求函数242(0)yxxx最小值.【知识点】三个正数的均值不等式【解题过程】23222386yxxx，当且仅当222xx,即1x时取等号.【思路点拨】掌握利用三个三个正数的均值不等式求最值【答案】6同类训练把一块边长是3的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转做成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？.【知识点】三个正数均值不等式【解题过程】解：设切去的正方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则231132324(32)(32)(32)4()2443xxxVxxxxx