2019-2020学年成都市高一下学期期末数学试卷(文科)

2019-2020学年成都市高一下学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.等比数列{𝑎𝑛}中，若𝑎3=4，则𝑎2⋅𝑎4=()A.8B.16C.32D.642.已知四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是()A.2B.3C.D.33.设对任意实数𝑥0，𝑦0，若不等式𝑥+√𝑥𝑦≤𝑎(𝑥+2𝑦)恒成立，则实数a的最小值为()A.√6+24B.2+√24C.√6+√24D.234.若cos𝛼2=√63，则𝑐𝑜𝑠2𝛼=()A.13B.79C.−79D.−135.各项都是正数的等比数列{𝑎𝑛}，若𝑎2，12𝑎3，2𝑎1成等差数列，则𝑎3+𝑎4𝑎4+𝑎5的值为()A.2B.2或−1C.12D.12或−16.在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若𝑐𝑜𝑠𝐶𝑏𝑎，则△𝐴𝐵𝐶的形状是()A.等腰三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形7.在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎=3，𝑏=4，𝑐=5，则𝑠𝑖𝑛2𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶=()A.125B.1225C.2425D.238.设𝑥∈𝑅，且𝑎=3𝑥2−𝑥+1，𝑏=2𝑥2+𝑥−1，则a与b的大小关系为()A.𝑎𝑏B.𝑎=𝑏C.𝑎𝑏D.不确定，与x取值有关9.一个三角形的直观图是腰长为4的等腰直角三角形，则它的原面积是()A.8B.16C.16√2D.32√210.已知𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前n项和，且log2(𝑆𝑛+1)=𝑛+1，则数列{𝑎𝑛}的通项公式为()A.𝑎𝑛=2𝑛B.𝑎𝑛={3 𝑛=12𝑛 𝑛≥2C.𝑎𝑛=2𝑛−1D.𝑎𝑛=2𝑛+111.在三角形ABC中，已知𝐵=60度，𝐶=45度，𝐵𝐶=8，AD垂直于BC于D，则AD长为()A.B.C.D.12.()A.B.C.D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数𝑦=3𝑠𝑖𝑛𝑥+4𝑐𝑜𝑠𝑥,𝑥∈[𝜋2,𝜋]的值域为______．14.△𝐴𝐵𝐶中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若𝐴=𝜋6，𝑏2=𝑐⋅(𝑐+𝑎)，则𝐵=______．15.已知递增的等差数列{𝑎𝑛}的首项𝑎1=1，且𝑎1、𝑎2、𝑎4成等比数列．则数列{𝑎𝑛}的通项公式为______；则𝑎2+𝑎5+𝑎8+⋯+𝑎3𝑛−1+⋯+𝑎3𝑛+8的表达式为______．16.已知𝑥+𝑦=40且x和y都是正数，则xy的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知(1)求数列{}的通项公式(2)数列{}的首项𝑏1=1，前n项和为𝑇𝑛，且，求数列{}的通项公式．18.如图，三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐶𝐴=𝐶𝐵，𝐴𝐵=𝐴𝐴1，∠𝐵𝐴𝐴1=60°．(1)证明：𝐴𝐵⊥𝐴1𝐶；(2)若𝐴𝐵=𝐶𝐵=2，𝐴1𝐶=√6，(理科做)求二面角𝐵−𝐴𝐶−𝐴1的余弦值．(文科做)求三棱锥𝐴−𝐶𝐴1𝐵的体积．19.已知𝑐𝑜𝑠𝛼=−45,𝑠𝑖𝑛𝛽=−34,𝛼∈(𝜋2,𝜋),𝛽∈(𝜋,32𝜋)，求cos(𝛼−𝛽)20.在数列{𝑎𝑛}中，满足点𝑃(𝑎𝑛,𝑎𝑛+1)是函数𝑓(𝑥)=3𝑥图象上的点，且𝑎1=3．(1)求{𝑎𝑛}的通项公式；(2)若𝑏𝑛=𝑛𝑎𝑛，求数列{𝑏𝑛}的前n项和𝑆𝑛．21.已知二次函数，满足，且方程有两个相等的实根。(1)求函数的解析式。(2)当时，求函数的最小值。22.(本小题满分12分)已知函数()的最小正周期为．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求函数在区间上的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎3=4，∴𝑎2⋅𝑎4=𝑎32=42=16．故选：B．由等比数列通项公式得𝑎2⋅𝑎4=𝑎32，由此能求出结果．本题考查等比数列中两项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：由三视图可知该是四棱锥顶点在底面的射影是底面矩形的一个顶点，底面边长分别为3，2，后面是直角三角形，直角边分别为3，2，所以后面的三角形的面积为×2×3=3.左面三角形是直角三角形，直角边长分别为2，2，三角形的面积为×2×2=2.前面三角形是直角三角形，直角边长分别为3，2，其面积为×3×2=3.右面也是直角三角形，直角边长为2，，三角形的面积为×2×=.所以四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的四个侧面中面积最大的是前面的三角形，面积为3，选D3.答案：A解析：解：分离参数可得：𝑎≥𝑥+√𝑥𝑦𝑥+2𝑦=1+√𝑦𝑥1+2𝑦𝑥令√𝑦𝑥=𝑡(𝑡0)，则𝑎≥1+𝑡1+2𝑡2令1+𝑡=𝑚(𝑚1)，1+𝑡1+2𝑡2=𝑚3+2𝑚2−4𝑚=13𝑚+2𝑚−4∵𝑚1，∴3𝑚+2𝑚≥2√6(当且仅当𝑚=√62时，取等号)∴3𝑚+2𝑚−4≥2√6−4∴013𝑚+2𝑚−4≤12√6−4∴013𝑚+2𝑚−4≤√6+24∴𝑎≥√6+24∴𝑎的最小值为√6+24．分离参数可得：𝑎≥𝑥+√𝑥𝑦𝑥+2𝑦=1+√𝑦𝑥1+2𝑦𝑥，令√𝑦𝑥=𝑡(𝑡0)，则𝑎≥1+𝑡1+2𝑡2令1+𝑡=𝑚(𝑚1)，1+𝑡1+2𝑡2=𝑚3+2𝑚2−4𝑚=13𝑚+2𝑚−4，求出最大值，即可求得a的最小值．本题考查恒成立问题，考查基本不等式的运用，解题的关键是分离参数，转化为求函数的最值．4.答案：C解析：本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．由条件利用二倍角公式可得𝑐𝑜𝑠𝛼的值，再利用二倍角公式可得𝑐𝑜𝑠2𝛼的值．解：∵由条件可得𝑐𝑜𝑠𝛼=2𝑐𝑜𝑠2𝛼2−1=13,𝑐𝑜𝑎2𝛼=2𝑐𝑜𝑠2𝛼−1=−79，故选：C．5.答案：C解析：解：设等比数列{𝑎𝑛}的公比为q，则𝑞0，因为𝑎2，12𝑎3，2𝑎1成等差数列，所以2×12𝑎3=𝑎2+2𝑎1，则𝑎1𝑞2=𝑎1𝑞+2𝑎1，即𝑞2−𝑞−2=0，解得𝑞=2或𝑞=−1(舍去)，所以𝑎3+𝑎4𝑎4+𝑎5=𝑎3+𝑎4𝑎3𝑞+𝑎4𝑞=1𝑞=12，故选：C．设等比数列{𝑎𝑛}的公比为q，由题意得𝑞0，根据条件和等差中项的性质列出方程求出q的值，利用等比数列的通项公式化简𝑎3+𝑎4𝑎4+𝑎5即可得答案．本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质，考查整体思想，方程思想，属于中档题．6.答案：C解析：解：△𝐴𝐵𝐶中，∵𝑐𝑜𝑠𝐶𝑏𝑎，∴由正弦定理得：𝑐𝑜𝑠𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴，又𝑠𝑖𝑛𝐴0，∴𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵=sin(𝐴+𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶，∴𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶0，又𝑠𝑖𝑛𝐶0，∴𝑐𝑜𝑠𝐴0，A为钝角，故选：C．利用正弦定理可得𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵，再利用两角和的正弦计算可得𝑐𝑜𝑠𝐴0，从而可得答案．本题考查三角形的形状的判断，考查正弦定理与两角和的正弦的应用，属于中档题．7.答案：C解析：解：△𝐴𝐵𝐶中，𝑎=3，𝑏=4，𝑐=5，∴𝑠𝑖𝑛2𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶=2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶=2⋅𝑎𝑐⋅𝑐𝑜𝑠𝐴=2⋅35⋅42+52−322×4×5=2425．故选：C．根据二倍角公式和正弦、余弦定理，计算即可；也可以利用直角三角形的边角关系计算cosA的值．本题考查了二倍角公式和正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．8.答案：A解析：解：∵𝑎−𝑏=(3𝑥2−𝑥+1)−(2𝑥2+𝑥−1)=3𝑥2−𝑥+1−2𝑥2−𝑥+1=𝑥2−2𝑥+2=𝑥2−2𝑥+1+1=(𝑥−1)2+10，∴𝑎𝑏，故选A．两数作差，化简，即可比较大小．本题考查比较大小，作差法是常用的方法，间接考查二次函数的值域．属简单题9.答案：C解析：解：由题意直观图为等腰直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶=4，直观图的面积为8，因为直观图和原图面积之间的关系为𝑆原图𝑆直观图=2√2，故原△𝐴𝐵𝑂的面积是16√2．故选：C．可根据直观图和原图面积之间的关系求解，也可作出原图，直接求面积．本题考查斜二测画法及斜二测画法中原图和直观图面积之间的联系，考查作图能力和运算能力．10.答案：B解析：本题主要考查数列的应用，属于中档题．解：由log2(𝑆𝑛+1)=𝑛+1，得𝑆𝑛+1=2𝑛+1，当𝑛=1时，𝑎1=𝑆1=3；当𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=2𝑛，所以数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛={3 𝑛=12𝑛 𝑛≥2，故选B．11.答案：D解析：本题考查了正弦定理和解三角形的应用．利用正弦定理得AB的值，再利用解三角形得结论．解：如图：在三角形ABC中，已知，则．又𝐵𝐶=8，所以，即，解得．因为AD垂直于BC于D，在中，．故选D．12.答案：C解析：试题分析：．考点：三角恒等变换．13.答案：[−4,3]解析：解：𝑦=3𝑠𝑖𝑛𝑥+4𝑐𝑜𝑠𝑥，可得𝑦′=3𝑐𝑜𝑠𝑥−4𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈[𝜋2,𝜋]，可得：𝑦′0，函数是减函数，∵𝑥∈[𝜋2,𝜋]，∴𝑥=𝜋2时，函数取得最大值：3𝑠𝑖𝑛𝜋2+4𝑐𝑜𝑠𝜋2=3，𝑥=𝜋时，函数取得最小值3𝑠𝑖𝑛𝜋+4𝑐𝑜𝑠𝜋=−4，∴𝑦∈[−4,3]．故答案为：[−4,3]．直接利用导数判断函数的单调性，结合三角函数角的范围求解即可．本题考查函数的导数的应用，三角函数的值域的求法，考查计算能力．14.答案：5𝜋9解析：解：△𝐴𝐵𝐶中，𝐴=𝜋6，所以𝐶=5𝜋6−𝐵，由𝑏2=𝑐⋅(𝑐+𝑎)，可得sin2𝐵=sin2𝐶+12𝑠𝑖𝑛𝐶，所以1−𝑐𝑜𝑠2𝐵2=1−𝑐𝑜𝑠2𝐶2+12𝑠𝑖𝑛𝐶，∴cos(2𝐶)−𝑐𝑜𝑠2𝐵=12𝑠𝑖𝑛𝐶，∴由和差化积公式−2𝑠𝑖𝑛(𝐵+𝐶)sin(𝐶−𝐵)=𝑠𝑖𝑛𝐶，∴sin(𝐵−𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐶，∴因为0𝐵−𝐶5𝜋6，0𝐶5𝜋6，∴𝐵−𝐶=𝐶，即𝐵=2𝐶，所以𝐵+𝐵2=5𝜋6，即𝐵=5𝜋9．故答案为：5𝜋9．根据正弦定理的变形公式，将𝑏2=𝑐⋅(𝑐+𝑎)，化为sin2𝐵=sin2𝐶+12𝑠𝑖𝑛𝐶，再用降幂公式化为cos(𝜋3+2𝐵)−𝑐𝑜𝑠2𝐵=+12sin(𝜋6+𝐵)，然后两次使用和差化积公式即可求出B．本题考查了正弦定理，降幂公式，和差化积公式，属于难题．15.答案：𝑎𝑛=𝑛；3𝑛2+19𝑛+302解析：解：递增的等差数列{𝑎𝑛}的公差为d，则𝑑0，∵𝑎1、𝑎2、𝑎4成等比数列，∴𝑎22=𝑎1𝑎4，∴(1+𝑑)2=1×(1+3𝑑)，解得𝑑=1，∴数列{𝑎𝑛}的通项公式为：𝑎𝑛=1+𝑛−1=𝑛，∴𝑎2+𝑎5+𝑎8+⋯+𝑎3𝑛−1+⋯+𝑎3𝑛+8表示2为首项3为公差的等差数列的前𝑛+3项和，∴𝑎2+𝑎5+𝑎8+⋯+𝑎3𝑛−1+⋯+𝑎3𝑛+8=2(𝑛+3)+(𝑛+3)(𝑛+2)2×3=3𝑛2+19𝑛+302故答案为：𝑎𝑛=𝑛；3𝑛2+19𝑛+3