第一节--导数的概念及运算、定积分

第一节导数的概念及运算、定积分课标要求1.理解导数的概念及意义.2.掌握导数的运算.3.了解定积分的概念及微积分基本定理的含义.一、“基础知识”掌握牢1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记法记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝几何意义是曲线y＝f(x)在点处的，相应的切线方程为fx0＋Δx－fx0Δxfx0＋Δx－fx0Δx(x0，f(x0))y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)切线的斜率limΔx→0limΔx→02．函数f(x)的导函数函数为f(x)的导函数．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx0αxα－1cosx－sinxf(x)＝exf′(x)＝f(x)＝ax(a0，a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝logax(a0，a≠1)f′(x)＝续表exaxlna1x1xlna4．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；(3)fxgx′＝．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)yu′·ux′y对uu对x6．定积分的概念在∫baf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．7．定积分的性质(1)∫bakf(x)dx＝k∫baf(x)dx(k为常数)；(2)∫ba[f1(x)±f2(x)]dx＝∫baf1(x)dx±∫baf2(x)dx；(3)∫baf(x)dx＝∫caf(x)dx＋∫bcf(x)dx(其中a＜c＜b)．8．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫baf(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作F(x)|ba，即∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．谨记结论·谨防易错(1)f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.(2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．(3)1fx′＝－f′x[fx]2.(4)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．(5)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”．(6)在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆．二、“基本技能”运用好1．(好题分享——新人教A版选择性必修第二册P75T1改编)下列式子错误的是()A．(sinx)′＝cosxB．(cosx)′＝sinxC．(2lnx)′＝2xD．(e－x)′＝－e－x解析：根据题意，依次分析选项：对于A，(sinx)′＝cosx，正确；对于B，(cosx)′＝－sinx，错误；对于C，(2lnx)′＝2x，正确；对于D，(e－x)′＝－e－x，正确；故选B.答案：B2．已知曲线f(x)＝lnx＋x2a在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为3π4，则a的值为()A．1B．－1C．－12D．－4解析：函数f(x)＝lnx＋x2a的导数f′(x)＝1x＋2xa，∵函数f(x)在x＝1处的切线的倾斜角为3π4，∴f′(1)＝－1，∴1＋2a＝－1，∴a＝－1.答案：B3．曲线f(x)＝x3－x在点(－1，f(－1))处的切线方程为()A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y－2＝0C．2x－y＋2＝0D．2x－y－2＝0解析：∵f(x)＝x3－x，则f′(x)＝3x2－1，∴f′(－1)＝2，f(－1)＝0，因此，曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为y＝2(x＋1)，即2x－y＋2＝0.答案：C4．∫212－x＋x2xdx＝()A．2ln2＋12B．2ln2－12C．ln2＋1D．ln2－1解析：∫212－x＋x2xdx＝∫212x－1＋xdx＝2lnx－x＋x22|21＝2ln2＋12.答案：A5．已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则x0＝________.解析：∵f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得x0＝3.答案：3三、“基本思想”很重要1．(函数与方程)已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于()A．0B．－1C．12D．2解析：依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，所以f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝12.答案：C2．(数形结合)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A．0f′(2)f′(3)f(3)－f(2)B．0f′(3)f′(2)f(3)－f(2)C．0f′(3)f(3)－f(2)f′(2)D．0f(3)－f(2)f′(2)f′(3)解析：设f′(3)，f(3)－f(2)，f′(2)分别表示直线n，m，l的斜率(作图略)，数形结合知0f′(3)f(3)－f(2)f′(2)，故选C.答案：C四、“基本活动经验”不可少为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示．(1)该月内哪个厂的污水排放量减少得更多？(2)在接近t0时，哪个厂的污水排放量减少得更快？答案：(1)乙(2)甲命题点一导数的运算(自主练通)[题组练透]1．已知f(x)＝cos2x＋e2x，则f′(x)＝()A．－2sin2x＋2e2xB．sin2x＋e2xC．2sin2x＋2e2xD．－sin2x＋e2x解析：由题意f′(x)＝－sin2x·2＋e2x·2＝－2sin2x＋2e2x，故选A.答案：A2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值等于()A．2B．－2C．94D．－94解析：∵f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，∴f′(x)＝2x＋3f′(2)＋1x，∴f′(2)＝22＋3f′(2)＋12，解得f′(2)＝－94，故选D.答案：D3．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关于时间变化的函数为R(t)．若圆柱的体积以均匀速度c增长，则圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径()A．成正比，比例系数为cB．成正比，比例系数为c2C．成反比，比例系数为cD．成反比，比例系数为c2解析：设圆柱高度为h，由V＝S·h＝πR2h，知V′＝2πhR·R′(t)，即2πhR·R′(t)＝c，∴R′(t)＝c2πhR.又圆柱的侧面积S侧＝2πRh，则其侧面积的增长速度S侧′＝2πhR′(t)＝2πh·c2πhR＝cR，∴圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径成反比，比例系数为c，故选C.答案：C4．(2020·赣州模拟)已知函数f(x)＝22019x＋1＋x2019＋sinx(x∈R)，则f(2019)＋f(－2019)＋f′(2019)－f′(－2019)值为________．解析：由题意，f′(x)＝－2·2019xln20192019x＋12＋2019x2018＋cosx，f′(－x)＝－2·2019－xln20192019－x＋12＋2019(－x)2018＋cos(－x)＝－2·2019xln20192019x＋12＋2019x2018＋cosx＝f′(x)，∴f′(x)是偶函数，∴f′(x)－f′(－x)＝0，又f(x)＋f(－x)＝22019x＋1＋x2019＋sinx＋22019－x＋1＋(－x)2019＋sin(－x)＝22019x＋1＋2·2019x2019x＋1＝2.∴f(2019)＋f(－2019)＋f′(2019)－f′(－2019)＝2.答案：25．求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋1x；(3)y＝cosxex；(4)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2.解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝lnx＋1x′＝(lnx)′＋1x′＝1x－1x2.(3)y′＝cosxex′＝cosx′ex－cosxex′ex2＝－sinx＋cosxex.(4)∵y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2＝12xsin(4x＋π)＝－12xsin4x，∴y′＝－12sin4x－12x·4cos4x＝－12sin4x－2xcos4x.[一“点”就过]1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．2．常见形式及具体求导的几种方法连乘形式先展开化为多项式形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式先化为分数指数幂的形式，再求导对数形式先化为和、差形式，再求导复合函数先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元3．对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．[备课札记]命题点二导数的几何意义及应用(多角探明)[逐点例析]题点(一)求切线方程[例1](1)(2020·全国卷Ⅰ)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．(2)过原点与曲线y＝(x－1)3相切的切线方程为________．[解析](1)设切点坐标为(x0，lnx0＋x0＋1)．由题意得y′＝1x＋1，则该切线的斜率为1x0＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1,2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.(2)函数y＝(x－1)3的导数为y′＝3(x－1)2，设过原点的切线的切点坐标为(x0，(x0－1)3)，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝3(x0－1)2，∵切线过原点(0,0)，∴k＝3(x0－1)2＝x0－13－0x0－0，解得x0＝1或x0＝－12，则切点坐标为(1,0)或－12，－278，对应的斜率k＝0或k＝274，∴对应的切线方程为y＝0或y＋278＝274x＋12，即y＝0或27x－4y＝0.[答案](1)2x－y＝0(2)y＝0或27x－4y＝0[解题方略]曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.题点(二)求切点坐标[例2](2021·邯郸模拟)直线y＝k(x－2)与曲线y＝ex相切，则切点的横坐标为____