高中数学-第6讲--函数的奇偶性与周期性

第6讲PART6函数的奇偶性与周期性课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题1.理解函数的奇偶性,会判断函数的奇偶性.2.了解函数的周期性.3.会运用函数图像理解和讨论函数的性质.考试说明1.函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有,那么函数f(x)是偶函数都有,那么函数f(x)是奇函数图像特征关于对称关于对称知识聚焦课前双基巩固f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)原点y轴知识聚焦2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫作f(x)的最小正周期.课前双基巩固f(x+T)=f(x)最小的正数最小正数课前双基巩固常用结论1.奇(偶)函数定义的等价形式:(1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数;(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数.2.设f(x)的最小正周期为T,对f(x)的定义域内任一自变量的值x,(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|;(2)若f(x+a)=1𝑓(𝑥),则T=2|a|;(3)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|.课前双基巩固3.对称性与周期性之间的常用结论:(1)若函数f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|;(2)若函数f(x)的图像关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|;(3)若函数f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=4|b-a|.课前双基巩固4.关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论:(1)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图像关于直线x=a对称;(2)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图像关于直线x=𝑎+𝑏2对称;(3)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图像关于点𝑎+𝑏2,0对称;(4)若函数f(x)满足关系式f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图像关于点𝑎+𝑏2,𝑐2对称.课前双基巩固题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=x2-1,f(x)=x3,f(x)=x2+cosx,f(x)=1𝑥+|x|中,偶函数的个数是.[答案]2[解析]f(x)=x2-1和f(x)=x2+cosx为偶函数.对点演练课前双基巩固2.[教材改编]若奇函数f(x)在区间[a,b]上是减函数,则它在[-b,-a]上是函数;若偶函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则它在[-b,-a]上是函数.[答案]减减[解析]根据奇偶函数图像的对称性可得.课前双基巩固3.[教材改编]已知f(x)为奇函数,当x0时,f(x)=𝑥-1,则f(-2)=.[答案]1-2[解析]f(-2)=-f(2)=-(2-1)=1-2.课前双基巩固4.[教材改编]已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=log4(x2+4),则f(2019)=.[答案]1[解析]因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是以3为周期的周期函数,所以f(2019)=f(673×3)=f(0)=log4(02+4)=1.课前双基巩固题组二常错题◆索引:判定奇偶性时,不化简解析式导致出错;奇偶性不能有效变化;找不到周期函数的周期从而求不出结果;利用奇偶性求解析式时忽略定义域.课前双基巩固5.函数f(x)=lg(1-𝑥2)|𝑥+3|-3是函数.(填“奇”“偶”“非奇非偶”)[答案]奇[解析]由1-𝑥20,|𝑥+3|-3≠0,得-1x1且x≠0,∴函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1),∴f(x)=lg(1-𝑥2)|𝑥+3|-3=lg(1-𝑥2)𝑥,∴f(-x)=lg(1-𝑥2)-𝑥=-f(x),∴f(x)是奇函数.课前双基巩固6.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图像关于直线对称;若函数y=g(x+b)是奇函数,则函数y=g(x)的图像关于点成中心对称.[答案]x=a(b,0)[解析]因为y=f(x+a)是偶函数,所以其图像关于y轴对称,将y=f(x+a)的图像向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位长度,得到函数y=f(x)的图像,则y=f(x+a)图像的对称轴平移至直线x=a处,即函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称.同理,函数y=g(x)的图像关于点(b,0)成中心对称.课前双基巩固7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f𝑥+32,且f(2)=2,则f(2018)=.[答案]2[解析]∵f(x)=-f𝑥+32,∴f(x+3)=f𝑥+32+32=-f𝑥+32=f(x),∴f(2018)=f(3×672+2)=f(2)=2.课前双基巩固8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x-3,则函数f(x)的解析式为f(x)=.[答案]𝑥-3,𝑥0,0,𝑥=0,𝑥+3,𝑥0[解析]设x0,则-x0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)-3]=x+3(x0).由奇函数的定义可知f(0)=0,所以f(x)=𝑥-3,𝑥0,0,𝑥=0,𝑥+3,𝑥0.探究点一函数奇偶性及其延伸课堂考点探究例1(1)[2018·杭州模拟]设函数f(x)=2𝑎𝑥-1+b(a0且a≠1),则函数f(x)的奇偶性()A.与a无关,且与b无关B.与a有关,且与b有关C.与a有关,但与b无关D.与a无关,但与b有关(2)下列函数中奇函数、偶函数的个数分别是()①f(x)=1-𝑥1+𝑥;②f(x)=log3(𝑥2+1+x);③f(x)=𝑥2-1,𝑥0,-𝑥2+1,𝑥0;④f(x)=x2+cosx.A.1,1B.2,2C.3,1D.2,1微点1函数奇偶性的判断课堂考点探究[思路点拨](1)考虑f(x)=f(-x)或f(-x)=-f(x)成立时,a,b的取值情况;(2)根据函数奇偶性的定义进行判断.课堂考点探究[答案](1)D(2)D[解析](1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.由f(x)=2𝑎𝑥-1+b=𝑏·𝑎𝑥+2-𝑏𝑎𝑥-1,得f(-x)=2𝑎-𝑥-1+b=(𝑏-2)𝑎𝑥-𝑏𝑎𝑥-1.若f(x)=f(-x)成立,则b=b-2,舍去;若f(-x)=-f(x)成立,则b-2=-b,解得b=1,此时函数为奇函数;若b≠1,则函数为非奇非偶函数.所以函数f(x)的奇偶性与b有关,与a无关.课堂考点探究(2)对于①,定义域为(-1,1],所以函数不具有奇偶性;对于②,定义域为R,且f(-x)=log3(𝑥2+1-x)=log31𝑥2+1+𝑥=-log3(𝑥2+1+x)=-f(x),所以函数为奇函数;对于③,当x0时,-x0,则f(-x)=(-x)2-1=-(-x2+1)=-f(x),同理当x0时,-x0,则f(-x)=-x2+1=-(x2-1)=-f(x),所以函数为奇函数;对于④,定义域为R,f(-x)=(-x)2+cos(-x)=f(x),函数为偶函数.所以选D.课堂考点探究[总结反思]判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域.(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.课堂考点探究例2(1)[2018·北京东城区模拟]若函数f(x)=3·e|𝑥-1|-sin(𝑥-1)e|𝑥-1|在区间[-3,5]上的最大值、最小值分别为p,q,则p+q的值为()A.2B.1C.6D.3(2)已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-3)=.微点2函数奇偶性的应用课堂考点探究[思路点拨](1)观察函数结构,可整理成一个奇函数及一个常数的和的形式,根据奇函数的最大值与最小值的和为0求解;(2)奇函数的定义域中若有0,则f(0)=0,求出m,再根据奇函数的定义求值.课堂考点探究[答案](1)C(2)-7[解析](1)令x-1=t,则f(t)=3e|𝑡|-sin𝑡e|𝑡|=3-sin𝑡e|𝑡|,t∈[-4,4],∴y=f(t)-3是奇函数,则f(t)min-3+f(t)max-3=0,即f(t)min+f(t)max=6,∴函数f(x)在区间[-3,5]上的最大值、最小值之和为6,即p+q=6,故选C.(2)函数f(x)为R上的奇函数,则f(0)=0,即20+m=0,所以m=-1,当x≥0时,f(x)=2x-1,所以f(-3)=-f(3)=-(23-1)=-7.课堂考点探究[总结反思]利用函数奇偶性可以解决以下问题:(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值.(4)画函数图像:利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像.(5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值.课堂考点探究例3(1)[2018·广东七校联考]已知定义域为R的函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则下列结论不成立的是()A.f(0)f(1)B.f(0)f(2)C.f(1)f(2)D.f(1)f(3)(2)设函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,f(3)=0,且g(x)=f(x+1)为偶函数,则不等式g(2-2x)0的解集为.微点3奇偶性延伸到其他对称性问题(从平移角度说说其他对称性问题)课堂考点探究[思路点拨](1)由函数y=f(x+2)为偶函数可知函数f(x)的图像关于直线x=2对称,再结合单调性比较大小;(2)根据函数图像的平移关系得到函数g(x)的单调递增区间,根据偶函数的单调性解不等式即可得到结论.课堂考点探究[答案](1)D(2)(0,2)[解析](1)函数y=f(x+2)为偶函数,将函数y=f(x+2)的图像向右平移2个单位长度得到函数y=f(x)的图像,所以y=f(x)的图像关于直线x=2对称,则函数f(x)在(-∞,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(0)f(1),f(0)f(2),f(1)f(2)都成立,f(1)f(3)不成立.故选D.课堂考点探究(2)f(x)在[1,+∞)上为增函数,将f(x)的图像向左平移1个单位长度得到f(x+1)的图像,则f(x+1)在[0,+∞)上为增函数,即g(x)在[0,+∞)上为增函数,且g(2)=f(2+1)=f(3)=0.不等式g(2-2x)0等价为g(2-2x)g(2),∵g(x)=f(x+1)为偶函数,∴|2-2x|2,得0x2,即不等式的解集为(0,2).课堂考点探究[总结反思]由奇偶性延伸所得对称性问题的常见形式有:(1)若函数y=f(x)为奇函数(偶函数),则函数y=f(x+a)的图像关于点(-a,0)对称(关于直线x=-a对称);(2)若函数y=f(x+a)为奇函数(偶函数),则函数y=f(x)的图像关于点(a,0)对称(关于直线x=a对称).课堂考点探究应用演练1.【微点1】下列函数中为偶函数的是()A.f(x)=x2sinxB.f(x)=2-xC.f(x)=sin𝑥𝑥D.f(x)=|log0.5x|[答案]C[解析]对于A,f(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sinx,是奇函数;对于B,是非奇非偶函