非线性有限元-9-弹塑性本构关系

弹塑性本构关系简介1.弹性介质本构关系2.弹塑性力学有关内容简介3.几种常用弹塑性材料模型简介4.弹塑性矩阵的建立步骤塑性是指物体内由于载荷超过某个临界值（弹性极限）而产生的永久变形。塑性力学是固体力学的一个分支，主要研究这种永久变形和作用力之间的关系，以及物体内部应力和应变的分布规律。材料的非线性行为异常丰富非线性弹性行为：当材料由于应力达到某种临界值而出现应力与应变间的非线性变化关系；弹塑性行为：有不可恢复的应变产生，即当载荷全部撤除后，会有永久的残余（剩余）变形；粘弹性行为（包括松弛与蠕变）：在高温等条件下，应力不但与应变有关，还与时间、应变率等明显相关；等等，以及多种非线性行为的耦合。3材料非线性的问题：由于加载历史、环境状况及加载时间总量等因素影响使得材料的应力-应变关系不符合胡克定律。不依赖于时间的弹塑性问题：当载荷作用时，材料立即变形，并不随时间变化而变化。依赖于时间的黏（弹、塑）性问题：载荷作用以后，材料立即变形，并随时间变化而变化。在载荷不变的条件下，由于材料黏性而继续增长的变形称为蠕变。在变形保持不变的条件下，由于材料的黏性而使应力衰减称为松弛。ep,ppd与相近学科门类的区别塑性力学（Plasticity）和弹性力学（Elasticity）：塑性力学考虑物体内产生的永久变形；而弹性力学则不考虑；塑性力学和流变学（Rheology）：两种门类都考虑永久变形。但是，塑性力学中的永久变形只与应力和应变的历史有关，不随时间变化；而流变学中的永久变形与时间有关。可恢复的弹性变形不可恢复的塑性变形rrt塑性变形力学流变学塑性力学发展历史1773年：库仑（Coulomb）提出土的屈服条件。1864年：屈雷斯加（Tresca）对金属材料提出了最大剪应力屈服条件。1870年：圣维南（Saint-Venant）提出在平面情况下理想刚塑性的应力-应变关系。假设最大剪应力方向和最大剪应变率方向一致，求解了柱体中发生部分塑性变形的扭转和弯曲问题、以及厚壁筒受内压问题。1871年：莱维（Levy）将塑性应力-应变关系推广到三维情况。塑性力学发展历史（续）1913年：米赛斯（Mises）经数学简化提出了Mises屈服条件。米赛斯还独立地提出和莱维一致的Levy-Mises塑性应力-应变（本构）关系。1913年：泰勒（Taylor）的实验证明，Levy-Mises本构关系是真实情况的一阶近似。1924年：提出塑性全量理论，伊柳辛（Ilyushin）等苏联学者用来解决大量实际问题。1930年：罗伊斯（Reuss）在普朗特（Prandtle）的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力-应变关系。至此，塑性增量理论初步建立。塑性力学发展历史（续）1950年前后：展开了塑性增量理论和塑性全量理论的辩论，促使对两种理论从根本上进行探讨。1970年代：随着有限元方法的提出和快速发展，关于塑性本构关系的研究十分活跃。主要从宏观与微观结合的角度，从不可逆过程热力学以及从理性力学等方面进行研究，例如无屈服面理论等。其它：1）在强化规律方面，除等向强化模型外，普拉格（Prager）提出随动强化等模型；2）在实验分析方面，运用光塑性法、云纹法、散斑干涉法等能测量大变形的手段。等等。单轴试验下材料的弹塑性性态（1/3）对塑性变形基本规律的认识来自于实验：1)从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性;2)将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，确定应力超过弹性极限后材料的本构关系;3)建立塑性力学的基本方程;4)求解这些方程，得到不同塑性状态下物体内的应力和应变。基本实验有两个：1)简单拉伸实验：实验表明，塑性力学研究的应力与应变之间的关系不但是非线性的，而且不是单值对应的。2)静水压力实验：静水压力可使材料的塑性增加，使原来处于脆性状态的材料转化为塑（韧）性材料。单轴试验下材料的弹塑性性态（2/3）单轴实验经过以下阶段：1)线弹性阶段：加载开始直至比例极限，材料表现为线弹性行为。2)非线性弹性阶段：继续加载直至弹性限，材料表现出非线性弹性行为。在此之前完全卸载，材料将沿原加载曲线返回而无残余应变。（注：比例限与弹性限非常接近，一般不做区分）3)塑性阶段：继续加载，材料可承受更大应力，称为材料强化，并伴随出现塑性应变。至A点以前卸载，路径接近直线，即处于弹性卸载状态，其斜率等于加载斜率E。4)破坏点：继续加载至可承受的最大极限应力，试件出现颈缩而破坏，称为强度极限。材料单向受载情形下的性态ABFEEO强度限弹性限比例限bsp单轴试验下材料的弹塑性性态（3/3）塑性问题的特点：材料进入塑性后，即使卸去应力，塑性应变将永久存在，与应力间的关系不仅取决于应力水平，还取决于加载历程。材料单向受载情形下的性态BAFEEO强度限弹性限比例限bsp屈服条件、屈服面与屈服函数屈服条件：材料进入塑性后，又称材料发生了屈服。屈服条件，又称屈服准则，是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的依据。在复杂应力状态下，各应力分量可组成不同的屈服条件。屈服面：对于单向应力状态，其屈服条件可以写成s可以看出，描述一维问题的屈服条件需要应力－应变曲线上的一个临界点（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该曲面称为屈服面。至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。123,,fC考虑到塑性变形与静水压力无关的特点23,FJJC屈服函数：是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。12第二节非线性方程组的解法线性方程组QK其中K为常数矩阵，可以直接求解。非线性方程组QK)(其中依赖于不能直接求解。为变形后的平衡方程。)(K求解方法包括：迭代法、增量法和混合法。13一、直接迭代法0)(fK假设有初始的试探解0fK101)(其中：)(00KK重复上述步骤fKnn11)(当误差小于规定的范围即可。假设的初始的试探解可以由线性问题得到。每次迭代需要计算和形成新的系数矩阵并进行求逆计算，这表明K可以表示成的函数，因此迭代法只适用于与变形历史无关的非线性问题。14直接迭代法的收敛性分析)()(KP单自由度问题2nn1n3n012曲线是凸的，收敛曲线是凹的，不收敛其他的迭代方法：Newton-Raphson方法（N-R方法）修正的Newton-Raphson方法（mN-R方法）15载荷分为若干步：位移分成若干步：每两步之间增长量为增量。二、增量法0)(fK增量法3210,,,ffff3210,,,增量解法的一般做法是：假设第m步的载荷和位移；让载荷增加，再求解。mfm)(1fffmm)(mm1如果每一步的增量足够小，解的收敛性可以得到保证f160)()(0fP其中：表示载荷变化的量。000fddKfddddPT01)(fKddT切线矩阵求解常微分方程组的问题，可以利用Euler方法。mmTmmTmmfKfK)()(1011其中：mmm1mmmfff117以上的分析方法计算得到的是近似积分的结果，因此计算得到的位移不能完全满足微分方程，导致解的漂移。改进方法：在每一增量步中引入迭代法（如N-R法或mN-R法），直到满足误差要求，进行下一增量步的分析。Euler法求解增量方程和解的漂移KP18N-R法解增量方程mN-R法解增量方程对于mR-N方法求解非线性方程组时，收敛速度较慢，特别是对于结构分析时载荷趋近极限载荷或突然变软的情况下，收敛速度会很慢。为了加速收敛，可以采用一些方法，比较常用和有效的是Aitken法。该方法每隔一次迭代进行一次加速。19第三节材料非线性的本构关系一、材料弹塑性行为的描述弹塑性材料进入塑性的特征是当载荷卸去后存在不可恢复的永久变形，因而在涉及卸载的情况下，应力和应变之间不再存在一一对应的关系，这是区别于非线性弹性的基本属性。20单调加载对于大多数材料存在屈服应力，应力低于屈服应力时，材料为弹性，而当应力超出屈服应力时，材料进入弹塑性状态。当应力达到屈服应力后，应力不再增加，而材料变形可以继续增加—理想弹塑性材料。当应力达到屈服应力后，再增加变形，应力必须增加—应变硬化材料。此时，应力和应变的关系)(pss应变硬化材料还可以这样理解：如果在某个大于屈服应力的应力值下卸载，然后再加载，材料重新进入塑性的应力值将高于初始的屈服应力。21理想弹塑性硬化塑性反向加载对于硬化材料，在一个方向加载进入塑性后，在时卸载，并反向加载进入新的塑性，这时新的屈服应力在数值上与初始的屈服应力不等，也不等于卸载时的应力。1rs22进入反向塑性后，应力和应变关系不同于正向，需根据实验重新确定。11rs各向同性硬化0112ssr运动（随动）硬化11rs混合硬化0112ssr23循环加载循环加载是指在上述反向进入塑性变形以后，载荷再反转进入正向，又一次达到新的屈服点和新的塑性变形，如此反复循环。加载分支：从载荷的反转点开始，沿此方向加载到新的屈服点，继续塑性变形到下一个载荷反转点。如：OA，AB，BC各为一载荷分支。实验表明，从第二个分支开始各分支的应力-应力关系是相似的。24等幅应变控制的循环加载，材料呈现循环硬（软）化现象—材料硬（软）化性质增强，直至最后趋于稳定，进而得到稳定的循环应力-应变曲线。不等幅应变控制的循环加载，材料呈现循环松弛—循环过程中平均应力不断减小，通常以趋于0为极限。25不等幅应力控制的循环加载，材料呈现循环蠕变—循环过程中平均应变不断增加，这种性质又称为棘轮效应。26二、塑性力学的基本法则将上述单轴应力状态的基本概念推广到一般的应力状态，需要利用塑性力学的增量理论。初始屈服条件此条件规定材料开始塑性变形的应力状态。对于初始各向同性的材料，在一般应力状态下开始进入塑性流动的条件是0)(00ijFF其中：ij--应力张量；)(0ijF--应力空间的超曲面。27对于金属材料通常采用以下两种屈服条件。V.Mises条件0321)(200sijijijssF其中：0s--屈服应力；ijs--偏斜应力张量分量。ijmijijs其中：m--平均应力；)(31332211mij--Kronercker符号；)(0)(1jijiij28在三维主应力空间内，V.Ｍｉｓｅｓ屈服条件为03)()()(61)(202132322210sijF几何意义是以为轴线的圆柱面。在过原点Ｏ，并垂直于直线的平面上，屈服函数的轨迹为半径为的圆周。而在的平面上，屈服函数的轨迹是一椭圆。3213210s0329Tresca条件0)()()()(2021320232202210sssijF屈服条件为几何意义是以为轴线并内接V.Mises圆柱面的正六棱柱面。在平面上的屈服函数的轨迹为内接V.Mises屈服轨迹的正六边形。321从数学角度分析，在棱边处的导数不存在，所以有限元分析通常采用V.Mises屈服条件。30流动法则流动法则规定塑性应变增量的分量和应力分量以及应力分量增量之间的关系。V.Mises流动法则假设塑性应变增量可由塑性势导出ijpijQdd其中：pijd--塑性应变增量分量；d--待定的有限量，与材料的硬化法则有关；Q--塑性势函数，是应力状态和塑性应变的函数。31硬化法则硬化法则规定材料进入塑性变形后的后继屈服函数（加载函数或加载曲面）。0),,(kFpijij其中：k--硬化参数，依赖于变形历史。理想弹塑性材料，因无硬化效应，后继屈服函数和初始屈服函数一致0)()